Resolver as seguintes integrais:
int \frac{2 x+3}{(x-2)^{2} \cdot\left(2 x^{2}+4 x+19\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função racional
\frac{2x+3}{(x-2)^{2}\,\bigl(2x^{2}+4x+19\bigr)}.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais, seguido de integração de termos do tipo \int dx/(x-2), \int dx/(x-2)^{2} e \int (Cx+D)\,dx/(2x^{2}+4x+19). Também vamos usar completamento de quadrado para o caso do denominador quadrático.

Passo 2

Procuramos escrever
\frac{2x+3}{(x-2)^{2}\,(2x^{2}+4x+19)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}}+\frac{Cx+D}{2x^{2}+4x+19}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)^{2}(2x^{2}+4x+19) e obtemos a identidade polinomial
2x+3 = A\,(x-2)(2x^{2}+4x+19) + B\,(2x^{2}+4x+19) +(Cx+D)\,(x-2)^{2}.
Expandindo cada termo e juntando coeficientes em potências de x resulta no sistema
\begin{cases} 2A + C = 0,\\\\ 2B + D - 4C = 0,\\\\ 11A + 4B + 4C - 4D = 2,\\\\ -38A + 19B + 4D = 3. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema, encontramos
A = -\tfrac{2}{175},\quad B = \tfrac{1}{5},\quad C = \tfrac{4}{175},\quad D = -\tfrac{54}{175}.

Passo 5

Logo a integral se separa em três partes:
\int\frac{2x+3}{(x-2)^{2}(2x^{2}+4x+19)}\,dx = A\int\frac{dx}{x-2} + B\int\frac{dx}{(x-2)^{2}} +\int\frac{Cx+D}{2x^{2}+4x+19}\,dx.
As duas primeiras são imediatas:
A\int\frac{dx}{x-2} = A\ln\lvert x-2\rvert, \qquad B\int\frac{dx}{(x-2)^{2}} = -\frac{B}{x-2}.
Para a terceira, note que
\frac{Cx+D}{2x^{2}+4x+19} =\frac{1}{175}\,\frac{4x-54}{2x^{2}+4x+19} =\frac{1}{175}\Bigl(\frac{4x+4}{2x^{2}+4x+19}-\frac{58}{2x^{2}+4x+19}\Bigr).
O termo \frac{4x+4}{2x^{2}+4x+19} é \frac{d}{dx}\ln(2x^{2}+4x+19), e sobra um múltiplo de \int dx/(2x^{2}+4x+19).

Passo 6

Para \displaystyle \int\frac{dx}{2x^{2}+4x+19},
completamos quadrado:
2x^{2}+4x+19 =2\bigl((x+1)^{2}+\tfrac{17}{2}\bigr),
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\int\frac{dx}{2x^{2}+4x+19} =\frac{1}{2}\int\frac{dx}{(x+1)^{2}+\tfrac{17}{2}} =\frac{1}{\sqrt{34}}\arctan\!\Bigl(\frac{2(x+1)}{\sqrt{34}}\Bigr).

Passo 7

Reunindo tudo e substituindo A,B, obtemos como antiderivada geral
-\tfrac{2}{175}\ln\lvert x-2\rvert -\frac{1/5}{\,x-2\,} +\frac{1}{175}\ln\bigl(2x^{2}+4x+19\bigr) -\frac{58}{175\sqrt{34}} \arctan\!\Bigl(\frac{2(x+1)}{\sqrt{34}}\Bigr) +C.

Resposta

-\frac{2}{175}\ln\lvert x-2\rvert -\frac{1}{5(x-2)} +\frac{1}{175}\ln\bigl(2x^{2}+4x+19\bigr) -\frac{58}{175\sqrt{34}} \arctan\!\Bigl(\frac{2(x+1)}{\sqrt{34}}\Bigr) +C.

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