Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \cos (\ln x) d x
\int \cos (\ln x) d x
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função
, isto é encontrar
Informações dadas e observações iniciais: a expressão
exige
. O objetivo é escrever uma função
tal que
. Não resolvemos ainda; só identifiquei o que é pedido.
Passo 2
Mudança de variável que simplifica: faça a substituição
Explico por que: ao colocar
a parte trigonométrica fica
e o diferencial
vira algo com
, possivelmente permitindo tratar um produto exponencial
trigonométrico. Agora calculemos o diferencial:
Substituindo na integral original obtemos
Para simplificar a notação, chamo essa integral de
Passo 3
Apresentando a técnica: integração por partes. A fórmula básica é
onde
é uma função escolhida cuja derivada
conhecemos, e
é o restante do integrando cujo primitiva
conseguiremos encontrar. A ideia é escolher
e
de forma que a nova integral
seja mais simples do que a original.
Passo 4
Aplicando integração por partes à integral
. Primeiro uso uma aplicação de partes escolhendo
Calcule
e
:
Agora aplique a fórmula:
Isso simplifica para
Denotemos a nova integral por
Passo 5
Calcule
por partes também. Escolho
então
Aplicando a fórmula:
Mas note que
é justamente
. Logo
Voltemos à expressão de
do Passo 4:
Isolando
no lado esquerdo:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volte à variável original
. Lembre que
e
. Substituindo:
Se quiser, um rápido check: derivando essa expressão usando regra do produto e cadeia retorna
, confirmando que está correta. Força aí — já já essa técnica vai ficar natural!