Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \cos (\ln x) d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função \cos(\ln x), isto é encontrar
\int \cos(\ln x)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais: a expressão \ln x exige x>0. O objetivo é escrever uma função F(x) tal que F'(x)=\cos(\ln x). Não resolvemos ainda; só identifiquei o que é pedido.

Passo 2

Mudança de variável que simplifica: faça a substituição
t=\ln x.
Explico por que: ao colocar t=\ln x a parte trigonométrica fica \cos t e o diferencial dx vira algo com e^t\,dt, possivelmente permitindo tratar um produto exponencial \times trigonométrico. Agora calculemos o diferencial:
x=e^t\quad\Rightarrow\quad dx=e^t\,dt.
Substituindo na integral original obtemos
\int \cos(\ln x)\,dx = \int \cos t \cdot e^t\,dt.
Para simplificar a notação, chamo essa integral de
A=\int e^t\cos t\,dt.

Passo 3

Apresentando a técnica: integração por partes. A fórmula básica é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u é uma função escolhida cuja derivada du conhecemos, e dv é o restante do integrando cujo primitiva v conseguiremos encontrar. A ideia é escolher u e dv de forma que a nova integral \int v\,du seja mais simples do que a original.

Passo 4

Aplicando integração por partes à integral A. Primeiro uso uma aplicação de partes escolhendo
u=\cos t,\qquad dv=e^t\,dt.
Calcule du e v:
du = -\sin t\,dt,\qquad v = e^t.
Agora aplique a fórmula:
A = \int e^t\cos t\,dt = uv - \int v\,du = e^t\cos t - \int e^t(-\sin t)\,dt.
Isso simplifica para
A = e^t\cos t + \int e^t\sin t\,dt.
Denotemos a nova integral por
B=\int e^t\sin t\,dt.

Passo 5

Calcule B por partes também. Escolho
u=\sin t,\qquad dv=e^t\,dt,
então
du=\cos t\,dt,\qquad v=e^t.
Aplicando a fórmula:
B = e^t\sin t - \int e^t\cos t\,dt.
Mas note que \int e^t\cos t\,dt é justamente A. Logo
B = e^t\sin t - A.
Voltemos à expressão de A do Passo 4:
A = e^t\cos t + B = e^t\cos t + (e^t\sin t - A).
Isolando A no lado esquerdo:
A = e^t\cos t + e^t\sin t - A \quad\Rightarrow\quad 2A = e^t(\cos t + \sin t).
Portanto
A = \frac{1}{2}e^t\bigl(\cos t + \sin t\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volte à variável original x. Lembre que t=\ln x e e^t = x. Substituindo:
\int \cos(\ln x)\,dx = A = \frac{1}{2}x\bigl(\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\bigr) + C.
Se quiser, um rápido check: derivando essa expressão usando regra do produto e cadeia retorna \cos(\ln x), confirmando que está correta. Força aí — já já essa técnica vai ficar natural!

Resposta

\frac{1}{2}\,x\bigl(\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\bigr)+C

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