\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 17) & A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio 2 metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto? \

Passo 1

O enunciado pede: “A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio 2 metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto?”\n
Informações relevantes dadas no enunciado:\n
  • O tanque é cilíndrico e vertical, com raio r=2 metros.\n
  • O líquido é bombeado para fora à taxa de 3000 litros por minuto.\n
  • A pergunta pede a taxa de variação do nível do líquido, ou seja, a taxa \dfrac{dh}{dt}, onde h(t) é a altura (nível) do líquido no tanque, expressa em unidades de comprimento por tempo (por exemplo, metros por minuto).\n
    Observação importante: a taxa dada de saída de líquido está em litros por minuto; provavelmente precisaremos converter para uma unidade de volume no SI (metros cúbicos) antes de usar as fórmulas do volume.

Passo 2

Converter a taxa de volume de litros por minuto para metros cúbicos por minuto.\n
Explicação do porquê: as fórmulas geométricas usuais (volume do cilindro) usam metros e metros cúbicos; então vamos trabalhar em \text{m}^3/\text{min}.\n
Fato de conversão: 1 litro =0{,}001 metros cúbicos, isto é, 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \text{m}^3.\n
Aplicando a conversão:
3000\\ \text{L/min} = 3000 \times 0{,}001\\ \text{m}^3/\text{min} = 3\\ \text{m}^3/\text{min}.
Importante: como o líquido está sendo retirado do tanque, o volume do líquido está diminuindo; portanto, o sinal de \dfrac{dV}{dt} será negativo. Assim tomamos
\frac{dV}{dt} = -3\\ \text{m}^3/\text{min}.

Passo 3

Escrever a relação geométrica entre volume do líquido e altura no cilindro.\n
Para um cilindro vertical de raio r e altura do líquido h, o volume do líquido é dado por:
V = \text{área da base} \times \text{altura} = \pi r^2 h.á
Aqui:
  • V(t) é o volume do líquido em \text{m}^3 no tempo t.\n
  • r é o raio da base do cilindro, constante e igual a 2 metros.\n
  • h(t) é a altura do líquido em metros no tempo t.\n
    Como r é constante, podemos calcular a área da base:
\pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi\\ \text{m}^2.

Passo 4

Relacionar as taxas de variação (derivadas em relação ao tempo) usando derivação implícita.\n
Explicação didática: quando V e h variam com o tempo t, derivamos ambos os lados da equação V=\pi r^2 h em relação a t. Como r é constante, \pi r^2 é constante e sai da derivada.\n
Derivando:
\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \cdot \frac{dh}{dt}.
Isto é uma forma padrão em problemas de “related rates” (taxas relacionadas): a taxa de variação do volume é a área da base multiplicada pela taxa de variação da altura.

Passo 5

Isolar \dfrac{dh}{dt} e substituir os valores numéricos.\n
Da equação anterior:
\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\pi r^2}\cdot\frac{dV}{dt}.
Substituindo r=2 e \dfrac{dV}{dt}=-3\\ \text{m}^3/\text{min}:
\frac{dh}{dt} = \frac{-3}{\pi (2)^2}\\ \text{m/min} = \frac{-3}{4\pi}\\ \text{m/min}.
Podemos também dar uma aproximação numérica para ter uma ideia do valor:
\frac{-3}{4\pi} \approx -0{,}2387\\ \text{m/min}.
Se preferir em centímetros por minuto (às vezes mais intuitivo para níveis), multiplica por 100:
-0{,}2387\\ \text{m/min} \approx -23{,}87\\ \text{cm/min}.

Passo 6

Interpretar o resultado e dar dica de prova.\n
  • O sinal negativo indica que o nível h está diminuindo — isso faz sentido porque estamos retirando líquido.\n
  • A unidade final é metros por minuto ( \text{m/min}). Sempre confira unidades: convertendo litros para \text{m}^3 no início evita confusão.\n
    Dica prática para a prova: escreva claramente a conversão de unidades, escreva a fórmula V=\pi r^2 h, derive para obter \dfrac{dV}{dt}=\pi r^2 \dfrac{dh}{dt} e substitua números com os sinais corretos (saída de líquido => dV/dt negativo). Isso é curto e seguro de pontuar.

Resposta

\displaystyle \frac{dh}{dt} = -\dfrac{3}{4\pi}\\ \text{m/min} \approx -0,2387\\ \text{m/min}

Exercícios relacionados