\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 17) & A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio 2 metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto? \
\hline 17) & A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio 2 metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto? \
Passo 1
O enunciado pede: “A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio 2 metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto?”\n
Informações relevantes dadas no enunciado:\n
Informações relevantes dadas no enunciado:\n
- O tanque é cilíndrico e vertical, com raio
metros.\n - O líquido é bombeado para fora à taxa de
litros por minuto.\n - A pergunta pede a taxa de variação do nível do líquido, ou seja, a taxa
, onde é a altura (nível) do líquido no tanque, expressa em unidades de comprimento por tempo (por exemplo, metros por minuto).\n
Observação importante: a taxa dada de saída de líquido está em litros por minuto; provavelmente precisaremos converter para uma unidade de volume no SI (metros cúbicos) antes de usar as fórmulas do volume.
Passo 2
Converter a taxa de volume de litros por minuto para metros cúbicos por minuto.\n
Explicação do porquê: as fórmulas geométricas usuais (volume do cilindro) usam metros e metros cúbicos; então vamos trabalhar em .\n
Fato de conversão: litro
metros cúbicos, isto é,
.\n
Aplicando a conversão:
Explicação do porquê: as fórmulas geométricas usuais (volume do cilindro) usam metros e metros cúbicos; então vamos trabalhar em
Fato de conversão:
Aplicando a conversão:
Importante: como o líquido está sendo retirado do tanque, o volume do líquido está diminuindo; portanto, o sinal de
será negativo. Assim tomamos
Passo 3
Escrever a relação geométrica entre volume do líquido e altura no cilindro.\n
Para um cilindro vertical de raio e altura do líquido
, o volume do líquido é dado por:
Para um cilindro vertical de raio
Aqui:
-
é o volume do líquido em no tempo .\n -
é o raio da base do cilindro, constante e igual a metros.\n -
é a altura do líquido em metros no tempo .\n
Comoé constante, podemos calcular a área da base:
Passo 4
Relacionar as taxas de variação (derivadas em relação ao tempo) usando derivação implícita.\n
Explicação didática: quando e
variam com o tempo
, derivamos ambos os lados da equação
em relação a
. Como
é constante,
é constante e sai da derivada.\n
Derivando:
Explicação didática: quando
Derivando:
Isto é uma forma padrão em problemas de “related rates” (taxas relacionadas): a taxa de variação do volume é a área da base multiplicada pela taxa de variação da altura.
Passo 5
Isolar
e substituir os valores numéricos.\n
Da equação anterior:
Da equação anterior:
Substituindo
e
:
Podemos também dar uma aproximação numérica para ter uma ideia do valor:
Se preferir em centímetros por minuto (às vezes mais intuitivo para níveis), multiplica por
:
Passo 6
Interpretar o resultado e dar dica de prova.\n
- O sinal negativo indica que o nível
está diminuindo — isso faz sentido porque estamos retirando líquido.\n - A unidade final é metros por minuto (
). Sempre confira unidades: convertendo litros para no início evita confusão.\n
Dica prática para a prova: escreva claramente a conversão de unidades, escreva a fórmula, derive para obter e substitua números com os sinais corretos (saída de líquido => dV/dt negativo). Isso é curto e seguro de pontuar.