Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \operatorname{arc} \operatorname{cotg} 2 x dx
\int \operatorname{arc} \operatorname{cotg} 2 x dx
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: calcular a integral
Informações relevantes que temos: a função integranda é a função arco-cotangente de
, ou seja
. Queremos uma primitiva dessa função (a integral indefinida), portanto o resultado deve ser uma expressão em
mais a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método e fórmula básica: vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Aqui
e
são funções escolhidas de modo que
e
sejam mais fáceis de manipular. Uma escolha natural quando aparece uma função inversa (como
) é tomar essa função como
e o restante como
. Então escolhemos
Com isso vamos calcular
e
.
Passo 3
Calcular
e
: como
, temos
Agora precisamos da derivada de
. Lembre a regra geral para derivada da arco-cotangente: se
então
Aqui
, então aplicando a regra da cadeia (derivada de
é
) obtemos
Portanto
.
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes: substituindo na identidade
obtemos
Simplificando o sinal,
Agora resta calcular a integral
.
Passo 5
Calcular a integral restante por substituição: para
fazemos a substituição simples
Substituindo,
Voltando para a expressão do passo anterior, multiplicando por
,
Passo 6
Juntar tudo e apresentar a primitiva final: substituindo o resultado do Passo 5 em Passo 4 obtemos
onde
é a constante de integração. Parabéns — essa é a primitiva procurada; na prova, escolha
e
e siga esses passos.