Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \operatorname{arc} \operatorname{cotg} 2 x dx

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: calcular a integral
\int \operatorname{arc\,cotg}(2x)\,dx.
Informações relevantes que temos: a função integranda é a função arco-cotangente de 2x, ou seja \operatorname{arc\,cotg}(2x). Queremos uma primitiva dessa função (a integral indefinida), portanto o resultado deve ser uma expressão em x mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e fórmula básica: vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são funções escolhidas de modo que du e v=\int dv sejam mais fáceis de manipular. Uma escolha natural quando aparece uma função inversa (como \operatorname{arc\,cotg}(2x)) é tomar essa função como u e o restante como dv. Então escolhemos
u=\operatorname{arc\,cotg}(2x),\qquad dv=dx.
Com isso vamos calcular du e v.

Passo 3

Calcular v=\int dv e du: como dv=dx, temos
v=\int dx = x.
Agora precisamos da derivada de u=\operatorname{arc\,cotg}(2x). Lembre a regra geral para derivada da arco-cotangente: se w=\operatorname{arc\,cotg}(t) então
\frac{dw}{dt}=-\frac{1}{1+t^2}.
Aqui t=2x, então aplicando a regra da cadeia (derivada de t=2x é 2) obtemos
du = \frac{d}{dx}\!\big(\operatorname{arc\,cotg}(2x)\big)\,dx = -\frac{2}{1+(2x)^2}\,dx = -\frac{2}{1+4x^2}\,dx.
Portanto du = -\dfrac{2}{1+4x^2}\,dx.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes: substituindo na identidade \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
\int \operatorname{arc\,cotg}(2x)\,dx = x\operatorname{arc\,cotg}(2x) - \int x\left(-\frac{2}{1+4x^2}\right)\,dx.
Simplificando o sinal,
\int \operatorname{arc\,cotg}(2x)\,dx = x\operatorname{arc\,cotg}(2x) + 2\int \frac{x}{1+4x^2}\,dx.
Agora resta calcular a integral \displaystyle \int \frac{x}{1+4x^2}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral restante por substituição: para \displaystyle \int \frac{x}{1+4x^2}\,dx fazemos a substituição simples
t = 1+4x^2 \quad\Rightarrow\quad dt = 8x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{8}.
Substituindo,
\int \frac{x}{1+4x^2}\,dx = \int \frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{8} = \frac{1}{8}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{8}\ln|t| + C = \frac{1}{8}\ln\big(1+4x^2\big) + C.
Voltando para a expressão do passo anterior, multiplicando por 2,
2\int \frac{x}{1+4x^2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{8}\ln\big(1+4x^2\big) = \frac{1}{4}\ln\big(1+4x^2\big).

Passo 6

Juntar tudo e apresentar a primitiva final: substituindo o resultado do Passo 5 em Passo 4 obtemos
\int \operatorname{arc\,cotg}(2x)\,dx = x\operatorname{arc\,cotg}(2x) + \frac{1}{4}\ln\big(1+4x^2\big) + C,
onde C é a constante de integração. Parabéns — essa é a primitiva procurada; na prova, escolha u=\operatorname{arc\,cotg}(2x) e dv=dx e siga esses passos.

Resposta

x\operatorname{arc\,cotg}(2x) + \dfrac{1}{4}\ln\big(1+4x^2\big) + C

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