Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \operatorname{cosec}^{2} x dx
\int x \operatorname{cosec}^{2} x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que queremos: a função a integrar é o produto de
por
. Precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda), escrita mais uma constante de integração
. Não há outras informações ou restrições.
Passo 2
Apresentação e ideia da técnica que vamos usar (integração por partes). A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis
e
,
Integrando ambos os lados em relação a
e isolando o termo que interessa, obtemos a fórmula
Na linguagem curta, se escolhermos
e
com
, então
Essa fórmula é útil quando a integral original é produto de duas funções e escolher
e
transforma a integral em algo mais simples.
Passo 3
Escolha de
e
para o nosso caso. Temos
. Uma escolha natural é:
porque derivando
simplificamos (vira
) e
tem uma primitiva conhecida (a primitiva de
é simples).
Passo 4
Calcular
e
. Derivando
obtemos
Agora precisamos encontrar
tal que
. Lembrando que
, portanto uma primitiva de
é
. Assim
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes. Substituindo
,
,
em
temos
Simplificando sinais,
Passo 6
Calcular
. Escrevemos
como
e usamos substituição simples. Seja
. Então
. Assim
(Escolhemos a constante
global depois; aqui só mostramos a primitiva.)
Passo 7
Juntando tudo: substituindo a primitiva de
no resultado da integração por partes, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para confiança): derivando a resposta encontramos
Reorganizando,
que é justamente a integranda. A primitiva está correta.