Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \operatorname{cosec}^{2} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\,\operatorname{cosec}^{2}x\,dx.
Informações dadas e o que queremos: a função a integrar é o produto de x por \operatorname{cosec}^{2}x. Precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda), escrita mais uma constante de integração C. Não há outras informações ou restrições.

Passo 2

Apresentação e ideia da técnica que vamos usar (integração por partes). A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x e isolando o termo que interessa, obtemos a fórmula
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx.
Na linguagem curta, se escolhermos u e dv com dv=v'(x)\,dx, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Essa fórmula é útil quando a integral original é produto de duas funções e escolher u e dv transforma a integral em algo mais simples.

Passo 3

Escolha de u e dv para o nosso caso. Temos \int x\,\operatorname{cosec}^{2}x\,dx. Uma escolha natural é:
u = x,\qquad dv = \operatorname{cosec}^{2}x\,dx,
porque derivando u simplificamos (vira du = dx) e dv tem uma primitiva conhecida (a primitiva de \operatorname{cosec}^{2}x é simples).

Passo 4

Calcular du e v. Derivando u obtemos
du = dx.
Agora precisamos encontrar v tal que dv = \operatorname{cosec}^{2}x\,dx. Lembrando que \frac{d}{dx}\cot x = -\operatorname{cosec}^{2}x, portanto uma primitiva de \operatorname{cosec}^{2}x é -\cot x. Assim
v = -\cot x.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes. Substituindo u, v, du em
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
temos
\int x\,\operatorname{cosec}^{2}x\,dx = x\cdot(-\cot x) - \int (-\cot x)\,dx.
Simplificando sinais,
\int x\,\operatorname{cosec}^{2}x\,dx = -x\cot x + \int \cot x\,dx.

Passo 6

Calcular \int \cot x\,dx. Escrevemos \cot x como \dfrac{\cos x}{\sin x} e usamos substituição simples. Seja t=\sin x. Então dt=\cos x\,dx. Assim
\int \cot x\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t| + C = \ln|\sin x| + C.
(Escolhemos a constante C global depois; aqui só mostramos a primitiva.)

Passo 7

Juntando tudo: substituindo a primitiva de \cot x no resultado da integração por partes, obtemos
\int x\,\operatorname{cosec}^{2}x\,dx = -x\cot x + \ln|\sin x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para confiança): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\big(-x\cot x + \ln|\sin x|\big) = -\cot x - x\big(-\operatorname{cosec}^{2}x\big) + \frac{\cos x}{\sin x}.
Reorganizando,
-\cot x + x\operatorname{cosec}^{2}x + \cot x = x\operatorname{cosec}^{2}x,
que é justamente a integranda. A primitiva está correta.

Resposta

-x\cot x + \ln|\sin x| + C

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