Resolver as seguintes integrais usando a těcnica de integração por partes.
integral cos (ln x) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral cos(ln x),dx usando a técnica de integração por partes. Isso envolve transformar a integral em uma forma mais amigável, aplicando uma substituição e depois a fórmula integral u,dv = uv - integral v,du.

Passo 2

Fazemos a substituição t = ln x. Então x = e^t e dx = e^t,dt. Essa troca nos ajuda a lidar com o ln x dentro do cosseno.
Substituindo na integral original temos:
integral cos(ln x),dx = integral cos(t),e^t,dt

Passo 3

Chamemos I = integral e^tcos t,dt. Agora vamos aplicar integração por partes em I.
Escolhemos u = cos t e dv = e^t,dt. Então
du = -sin t,dt, v = e^t
Pela fórmula de partes:
I = e^tcos t - integral e^t(-sin t),dt = e^tcos t + integral e^tsin t,dt

Passo 4

Chamemos J = integral e^tsin t,dt. Para calcular J, usamos partes de novo com u = sin t e dv = e^t,dt, obtendo
du = cos t,dt, v = e^t,
logo
J = e^tsin t - integral e^tcos t,dt = e^tsin t - I

Passo 5

Substituindo J em I:
I = e^tcos t + J = e^tcos t + (e^tsin t - I) = e^t(cos t + sin t) - I
Isso dá
2I = e^t(cos t + sin t) Rightarrow I = e^t2l(cos t + sin tr) + C

Passo 6

Voltando à variável original x, lembrando que e^t = x e t = ln x, chegamos à resposta final.

Resposta

integralcos(ln x),dx = x2l[cos(ln x)+sin(ln x)r] + C.

Exercícios relacionados