Resolver as seguintes integrais usando a těcnica de integração por partes.
integral x sen 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x sin(5x) , dx usando a técnica de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, e a gente escolhe uma para derivar e outra para integrar. Aqui, vamos precisar saber derivar x e integrar sin(5x).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
  • u = x (porque ao derivar, simplifica)
  • dv = sin(5x) , dx (vamos integrar isso)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u = x, temos du = dx
  • Integrando dv = sin(5x) , dx, lembrando que integral sin(ax) , dx = -1a cos(ax) + C, então:
v = integral sin(5x) , dx = -15 cos(5x)

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral x sin(5x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) , dx
Simplificando:
= -x5 cos(5x) + 15 integral cos(5x) , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral cos(5x) , dx. Sabemos que integral cos(ax) , dx = 1a sin(ax) + C, então:
integral cos(5x) , dx = 15 sin(5x)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
-x5 cos(5x) + 15 cdot 15 sin(5x) + C
Simplificando:
-x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C

Resposta

A integral integral x sin(5x) , dx é igual a:
-x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C

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