Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0,
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0,
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial formado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. As informações dadas são:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
Logo o objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Método (explicação didática): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
procura-se soluções exponenciais
. Substituindo
na equação obtemos o polinômio característico (ou equação característica)
As raízes
determinam as soluções fundamentais. Se uma raiz
tem multiplicidade
, a solução associada é
. Se uma raiz
tem multiplicidade
(raiz dupla), as soluções independentes são
e
; por isso, a solução geral aparece na forma
Breve justificativa para a raiz dupla: quando a raiz se repete, a segunda solução independente pode ser obtida por redução de ordem e resulta em
. Assim não é preciso memorizar sem entender: multiplicar por
produz uma solução linearmente independente da primeira.
Passo 3
Aplicando o método ao nosso problema: a equação característica é
Calculando o discriminante ou reconhecendo um quadrado:
logo existe uma raiz dupla
.
Portanto a solução geral é da forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Vamos calcular
para aplicar as condições iniciais. Derivando
:
Usando a regra do produto, a derivada é
Fatorando
:
Agora aplicamos as condições iniciais. Em
:
portanto
Para
:
Substituindo
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial: