Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=8

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial formado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. As informações dadas são:
  • Equação diferencial: y'' - 6y' + 9y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=8.
    Logo o objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Método (explicação didática): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
y''+a y'+b y=0,
procura-se soluções exponenciais y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx} na equação obtemos o polinômio característico (ou equação característica)
r^2 + a r + b = 0.
As raízes r determinam as soluções fundamentais. Se uma raiz r tem multiplicidade 1, a solução associada é e^{rx}. Se uma raiz r tem multiplicidade 2 (raiz dupla), as soluções independentes são e^{rx} e x e^{rx}; por isso, a solução geral aparece na forma
y=(C_1 + C_2 x)e^{rx}.
Breve justificativa para a raiz dupla: quando a raiz se repete, a segunda solução independente pode ser obtida por redução de ordem e resulta em x e^{rx}. Assim não é preciso memorizar sem entender: multiplicar por x produz uma solução linearmente independente da primeira.

Passo 3

Aplicando o método ao nosso problema: a equação característica é
r^2 - 6r + 9 = 0.
Calculando o discriminante ou reconhecendo um quadrado:
r^2 -6r +9 = (r-3)^2 = 0,
logo existe uma raiz dupla r=3.
Portanto a solução geral é da forma
y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Vamos calcular y'(x) para aplicar as condições iniciais. Derivando y(x):
y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x}.
Usando a regra do produto, a derivada é
y'(x) = C_2 e^{3x} + (C_1 + C_2 x)\cdot 3 e^{3x}.
Fatorando e^{3x}:
y'(x) = \bigl(C_2 + 3C_1 + 3C_2 x\bigr)e^{3x}.
Agora aplicamos as condições iniciais. Em x=0:
y(0) = (C_1 + C_2\cdot 0)e^{0} = C_1 = 2,
portanto
C_1 = 2.
Para y'(0):
y'(0) = \bigl(C_2 + 3C_1 + 3C_2\cdot 0\bigr)e^{0} = C_2 + 3C_1 = 8.
Substituindo C_1=2:
C_2 + 3\cdot 2 = 8 \quad\Rightarrow\quad C_2 + 6 = 8 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 2.

Passo 5

Substituindo C_1=2 e C_2=2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(x) = (2 + 2x)e^{3x} = 2(1+x)e^{3x}.

Resposta

y(x)=2(1+x)e^{3x}

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