Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0. y(0)=0, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condições iniciais:
  • Equação: y'' - 2y' + y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=3.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Ideia de solução (passo a passo, sem pular etapas): para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo exponencial. Então suponha uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número que vamos determinar. Aqui y' é a derivada de y em relação a x e y'' é a segunda derivada.
Calcule as derivadas de y(x)=e^{rx}:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substitua essas expressões na equação diferencial:
r^{2} e^{rx} - 2 r e^{rx} + e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica (uma equação algébrica para r):
r^{2} - 2r + 1 = 0.

Passo 3

Resolva a equação característica:
r^{2} - 2r + 1 = 0.
Essa é uma quadrática cujo discriminante é \Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 4-4 = 0. Portanto há uma raiz real dupla:
r = \frac{2}{2} = 1.
Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade 2 (raiz dupla) igual a r=1, as soluções independentes da equação diferencial homogênea são
e^{x}\quad\text{e}\quad x e^{x}.
Explicação curta do porquê do termo x e^{x}: se e^{rx} é solução e r é raiz dupla, uma segunda solução independente pode ser obtida multiplicando por x; isso pode ser verificado diretamente substituindo y_2(x)=x e^{rx} na equação quando r é raiz dupla. Assim a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C_{1} e C_{2}.
Primeiro escrevemos y(x) de forma conveniente:
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2} x\bigr) e^{x}.
Calcule y'(x) usando a regra do produto. Seja u(x)=C_{1}+C_{2}x e v(x)=e^{x}. Então
y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=C_{2}e^{x}+(C_{1}+C_{2}x)e^{x}=\bigl(C_{1}+C_{2}+C_{2}x\bigr)e^{x}.
Aplique a condição y(0)=0:
y(0)=\bigl(C_{1}+C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=C_{1}=0.
Logo C_{1}=0.
Aplique a condição y'(0)=3:
y'(0)=\bigl(C_{1}+C_{2}+C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=C_{1}+C_{2}=3.
Como C_{1}=0, segue C_{2}=3.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=3x e^{x}.

Passo 5

Verificação rápida (para ter certeza e também aprender a verificar respostas): calcule y',y'' para y(x)=3x e^{x} e substitua na equação original para confirmar que a igualdade é satisfeita.
Calcule:
y'(x)=3 e^{x}+3x e^{x}=3(1+x)e^{x},
y''(x)=3 e^{x}+3(1+x)e^{x}=3(2+x)e^{x}.
Agora substitua na equação y''-2y'+y:
y''-2y'+y = 3(2+x)e^{x} - 2\cdot 3(1+x)e^{x} + 3x e^{x}.
Fatorando 3e^{x}:
3e^{x}\bigl(2+x - 2(1+x) + x\bigr) = 3e^{x}\bigl(2+x -2 -2x + x\bigr)=3e^{x}\cdot 0 = 0.
Confirmado: a solução satisfaz a equação diferencial. Bom trabalho — você conseguiu acompanhar tudo!

Resposta

y(x)=3x e^{x}

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