Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condições iniciais:
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Ideia de solução (passo a passo, sem pular etapas): para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo exponencial. Então suponha uma solução da forma
onde
é um número que vamos determinar. Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a segunda derivada.
Calcule as derivadas de
:
Substitua essas expressões na equação diferencial:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica (uma equação algébrica para
):
Passo 3
Resolva a equação característica:
Essa é uma quadrática cujo discriminante é
. Portanto há uma raiz real dupla:
Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade
(raiz dupla) igual a
, as soluções independentes da equação diferencial homogênea são
Explicação curta do porquê do termo
: se
é solução e
é raiz dupla, uma segunda solução independente pode ser obtida multiplicando por
; isso pode ser verificado diretamente substituindo
na equação quando
é raiz dupla. Assim a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro escrevemos
de forma conveniente:
Calcule
usando a regra do produto. Seja
e
. Então
Aplique a condição
:
Logo
.
Aplique a condição
:
Como
, segue
.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Passo 5
Verificação rápida (para ter certeza e também aprender a verificar respostas): calcule
para
e substitua na equação original para confirmar que a igualdade é satisfeita.
Calcule:
Agora substitua na equação
:
Fatorando
:
Confirmado: a solução satisfaz a equação diferencial. Bom trabalho — você conseguiu acompanhar tudo!