Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação em forma de derivada
para reconhecê-la melhor. Dividindo ambos os lados por
(e assumindo
) obtemos
Agora isolar
:
Observação: aqui é preciso ter
. Como a condição inicial usa
, estamos interessados numa solução válida numa vizinhança de
(ou seja, para
).
Passo 3
Esta equação é separável: pode-se escrever os termos envolvendo
de um lado e os envolvendo
do outro. Dividindo ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
; no entanto a condição inicial tem
) e multiplicando por
, obtemos
Explicando a ideia: “separável” significa que a equação pode ser posta na forma
, o que permite integrar cada lado em sua variável.
Passo 4
Integrar ambos os lados. As integrais básicas que usamos são
e
. Assim,
leva a
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Escrever
como uma constante positiva
. Então
, o que implica
onde
pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero). Em termos práticos:
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
Passo 7
Concluir a solução particular e comentar domínio. Substituindo
na expressão geral obtemos
Como a dedução usou
e a condição inicial foi em
, a solução é válida para
(na prática funciona para qualquer
, mas a IVP especifica vizinhança de
). Para checar rapidamente, derivando
temos
e substituindo na equação original confirma-se que a solução satisfaz
.