Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
2 y d x+x d y=0;
y(2)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: 2y\,dx + x\,dy = 0.
  • Condição inicial: y(2) = -1.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação em forma de derivada dy/dx para reconhecê-la melhor. Dividindo ambos os lados por dx (e assumindo dx\neq0) obtemos
2y + x\frac{dy}{dx} = 0.
Agora isolar \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{x}.
Observação: aqui é preciso ter x\neq0. Como a condição inicial usa x=2, estamos interessados numa solução válida numa vizinhança de x=2 (ou seja, para x>0).

Passo 3

Esta equação é separável: pode-se escrever os termos envolvendo y de um lado e os envolvendo x do outro. Dividindo ambos os lados por y (assumindo momentaneamente y\neq0; no entanto a condição inicial tem y(2)=-1\neq0) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{y}\,dy = -2\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Explicando a ideia: “separável” significa que a equação pode ser posta na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, o que permite integrar cada lado em sua variável.

Passo 4

Integrar ambos os lados. As integrais básicas que usamos são \int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C e \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Assim,
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -2\cdot\frac{1}{x}\,dx
leva a
\ln|y| = -2\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C}\,|x|^{-2}.
Escrever e^{C} como uma constante positiva C_1>0. Então |y| = C_1 |x|^{-2}, o que implica y = C x^{-2} onde C pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero). Em termos práticos:
y = C x^{-2}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(2)=-1 para determinar C. Substituindo x=2:
-1 = C \cdot 2^{-2} = C\cdot\frac{1}{4}.
Logo
C = -4.

Passo 7

Concluir a solução particular e comentar domínio. Substituindo C=-4 na expressão geral obtemos
y(x) = -4x^{-2} = -\dfrac{4}{x^{2}}.
Como a dedução usou \ln|x| e a condição inicial foi em x=2>0, a solução é válida para x>0 (na prática funciona para qualquer x\neq0, mas a IVP especifica vizinhança de x=2). Para checar rapidamente, derivando y temos \dfrac{dy}{dx}=8x^{-3} e substituindo na equação original confirma-se que a solução satisfaz 2y\,dx+x\,dy=0.

Resposta

\displaystyle y=-\dfrac{4}{x^{2}},\quad x>0

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