Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}-y=1-x
y^{\prime}-y=1-x
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e com o termo não homogêneo . - Quer-se a solução geral (familia de soluções com constante arbitrária).
Passo 2
Escolha do método (explicando o raciocínio): a equação é de primeira ordem e tem a forma de uma equação linear em
. Um método direto, eficiente e padrão é o fator integrante (integrating factor). Outra abordagem possível é escrever a solução como soma da solução da homogênea mais uma solução particular; na prática essas ideias são equivalentes. Vou usar o fator integrante porque é sistemático e rápido.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão
. A equação dada é
portanto, comparando com a forma padrão, tem-se
Passo 4
Construir o fator integrante
. O fator integrante é definido por
Substituindo
,
Propriedade útil: ao multiplicar a equação original por
a parte à esquerda se torna a derivada de
, pois
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Temos
Pela propriedade do fator integrante, a esquerda é
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calcular a integral
. Separando:
A primeira integral é simples:
Para
usamos integração por partes. Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
Como
, obtemos
Voltando à integral original:
Observação curta: também se pode verificar rapidamente que
, confirmando o resultado.
Passo 7
Substituir o resultado da integral em
. Isso dá
Multiplicando ambos os lados por
,
Aqui
é uma constante arbitrária real, portanto a família de soluções gerais é
.
Passo 8
Interpretação e verificação rápida: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
, pois a equação homogênea associada
tem solução
. Para checar, substituir
na equação original:
confirma que a expressão resolve a equação.