Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}-y=1-x

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
y' - y = 1 - x.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com y e com o termo não homogêneo 1-x.
  • Quer-se a solução geral (familia de soluções com constante arbitrária).

Passo 2

Escolha do método (explicando o raciocínio): a equação é de primeira ordem e tem a forma de uma equação linear em y. Um método direto, eficiente e padrão é o fator integrante (integrating factor). Outra abordagem possível é escrever a solução como soma da solução da homogênea mais uma solução particular; na prática essas ideias são equivalentes. Vou usar o fator integrante porque é sistemático e rápido.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão y'+p(x)y=q(x). A equação dada é
y' - y = 1 - x,
portanto, comparando com a forma padrão, tem-se
p(x) = -1,\qquad q(x) = 1 - x.

Passo 4

Construir o fator integrante \mu(x). O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Substituindo p(x)=-1,
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -1\,dx\Big)=\exp(-x)=e^{-x}.
Propriedade útil: ao multiplicar a equação original por \mu(x) a parte à esquerda se torna a derivada de \mu(x)y, pois
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu y'+p\mu y.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Temos
e^{-x}y' - e^{-x}y = (1-x)e^{-x}.
Pela propriedade do fator integrante, a esquerda é
(e^{-x}y)'=(1-x)e^{-x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y=\int (1-x)e^{-x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle\int (1-x)e^{-x}\,dx. Separando:
\int (1-x)e^{-x}\,dx=\int e^{-x}\,dx - \int x e^{-x}\,dx.
A primeira integral é simples:
\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}.
Para \displaystyle\int x e^{-x}\,dx usamos integração por partes. Escolhemos u=x e dv=e^{-x}dx. Então du=dx e v=-e^{-x}. Aplicando a fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du,
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Como \displaystyle\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}, obtemos
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -(x+1)e^{-x}.
Voltando à integral original:
\int (1-x)e^{-x}\,dx = -e^{-x} - \big( -(x+1)e^{-x}\big) = -e^{-x} + (x+1)e^{-x} = x e^{-x}.
Observação curta: também se pode verificar rapidamente que \dfrac{d}{dx}\big(xe^{-x}\big)=(1-x)e^{-x}, confirmando o resultado.

Passo 7

Substituir o resultado da integral em e^{-x}y=\int(1-x)e^{-x}dx+C. Isso dá
e^{-x}y = x e^{-x} + C.
Multiplicando ambos os lados por e^{x},
y = x + C e^{x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real, portanto a família de soluções gerais é y(x)=x+Ce^{x}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida: a solução geral é a soma de uma solução particular y_p(x)=x e da solução geral da homogênea y_h(x)=Ce^{x}, pois a equação homogênea associada y'-y=0 tem solução y_h=Ce^{x}. Para checar, substituir y(x)=x+Ce^{x} na equação original:
y' = 1 + Ce^{x},\qquad y' - y = (1+Ce^{x}) - (x+Ce^{x}) = 1 - x,
confirma que a expressão resolve a equação.

Resposta

y(x)=x+Ce^{x}

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