Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y / 4=0. y(0)=-2 . y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vou listar explicitamente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Equação diferencial: y''+y'+\frac{1}{4}y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=-2,\qquad y'(0)=1.
O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e as duas condições iniciais.

Passo 2

Método escolhido (explicando por que): como a equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e homogênea, o método padrão é procurar soluções da forma exponencial \mathrm{e}^{rx}. Esse é o método mais direto para esse tipo de equação e funciona bem aqui porque não houve indicação contrária no enunciado.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=\mathrm{e}^{rx}. Isso transforma a equação diferencial em um polinômio para r. A equação característica é
r^{2}+r+\frac{1}{4}=0.
Explicando: ao substituir y=\mathrm{e}^{rx} temos y'=r\mathrm{e}^{rx} e y''=r^{2}\mathrm{e}^{rx}. Como \mathrm{e}^{rx}\neq0, podemos dividir por ela e obter a equação acima para r.

Passo 4

Resolvendo a equação característica: calcule o discriminante
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot \frac{1}{4}=1-1=0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{-1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Explicando o que isso significa: quando a equação característica tem raiz dupla r, as duas soluções linearly independentes da equação diferencial são \mathrm{e}^{rx} e x\mathrm{e}^{rx}.

Passo 5

Escrevendo a solução geral para o caso de raiz dupla: com r=-\tfrac{1}{2} a solução geral da equação homogênea é
y(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)\mathrm{e}^{-x/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.
Breve justificativa didática: a segunda solução independente x\mathrm{e}^{rx} aparece porque, quando a raiz é dupla, a multiplicidade exige uma solução adicional independente e a técnica de redução de ordem leva exatamente a esse fator x.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para encontrar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avalio y(0). Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=\big(C_{1}+C_{2}\cdot 0\big)\mathrm{e}^{0}=C_{1}.
Como y(0)=-2, obtemos
C_{1}=-2.
Agora preciso de y'(x). Calculo a derivada passo a passo usando a regra do produto:
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)\mathrm{e}^{-x/2}.
Derivando,
y'(x)=C_{2}\mathrm{e}^{-x/2}+\big(C_{1}+C_{2}x\big)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-x/2}.
Coloco em fator comum \mathrm{e}^{-x/2}:
y'(x)=\Big(C_{2}-\tfrac{1}{2}\big(C_{1}+C_{2}x\big)\Big)\mathrm{e}^{-x/2}.
Agora avalio em x=0:
y'(0)=\Big(C_{2}-\tfrac{1}{2}C_{1}\Big)\mathrm{e}^{0}=C_{2}-\tfrac{1}{2}C_{1}.
Usando C_{1}=-2,
y'(0)=C_{2}-\tfrac{1}{2}(-2)=C_{2}+1.
A condição inicial diz y'(0)=1, portanto
C_{2}+1=1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.

Passo 7

Substituindo os valores de C_{1} e C_{2} na solução geral temos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\big(-2+0\cdot x\big)\mathrm{e}^{-x/2}=-2\mathrm{e}^{-x/2}.
Verificação rápida (para dar confiança): y(0)=-2\mathrm{e}^{0}=-2 e y'(x)=-2\cdot(-\tfrac{1}{2})\mathrm{e}^{-x/2}=1\mathrm{e}^{-x/2}, logo y'(0)=1. As condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(x)=-2\mathrm{e}^{-x/2}

Exercícios relacionados