Resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y / 4=0.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y / 4=0.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vou listar explicitamente o que é pedido e os dados fornecidos:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O objetivo é encontrar a solução
que satisfaz a equação e as duas condições iniciais.
Passo 2
Método escolhido (explicando por que): como a equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e homogênea, o método padrão é procurar soluções da forma exponencial
. Esse é o método mais direto para esse tipo de equação e funciona bem aqui porque não houve indicação contrária no enunciado.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
. Isso transforma a equação diferencial em um polinômio para
. A equação característica é
Explicando: ao substituir
temos
e
. Como
, podemos dividir por ela e obter a equação acima para
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica: calcule o discriminante
Como
, há uma raiz real dupla. A raiz é
Explicando o que isso significa: quando a equação característica tem raiz dupla
, as duas soluções linearly independentes da equação diferencial são
e
.
Passo 5
Escrevendo a solução geral para o caso de raiz dupla: com
a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.
Breve justificativa didática: a segunda solução independente aparece porque, quando a raiz é dupla, a multiplicidade exige uma solução adicional independente e a técnica de redução de ordem leva exatamente a esse fator
.
Breve justificativa didática: a segunda solução independente
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro avalio
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, obtemos
Agora preciso de
. Calculo a derivada passo a passo usando a regra do produto:
Derivando,
Coloco em fator comum
:
Agora avalio em
:
Usando
,
A condição inicial diz
, portanto
Passo 7
Substituindo os valores de
e
na solução geral temos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Verificação rápida (para dar confiança):
e
, logo
. As condições iniciais são satisfeitas.