Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
2.
.
2.
Passo 1
O enunciado pede o
que faz mínima a energia
sujeito à condição integral
e às fronteiras
,
.
Isso é um problema variacional com restrição isoperimétrica. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e a equação de Euler–Lagrange.
Isso é um problema variacional com restrição isoperimétrica. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e a equação de Euler–Lagrange.
Passo 2
Introduzimos o multiplicador
e consideramos o funcional aumentado
A condição de estacionariedade será dada pela equação de Euler–Lagrange para o integrando
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais
A equação de Euler–Lagrange
vira
Passo 4
Integramos duas vezes para achar
:
Passo 5
Impondo
dá
. Impondo
dá
Logo
Passo 6
Agora a condição integral
vira
Passo 7
Usando
e
, temos
Como
, obtemos
Passo 8
Substituindo
em
: