Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
2. V[y]=\int_{0}^{1} y^{\prime 2} d x ; \int_{0}^{1} x y d x=0 ; y(0)=0, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede o y\colon[0,1]\to\mathbb{R} que faz mínima a energia
V[y]=\int_{0}^{1}y^{\prime2}\,dx
sujeito à condição integral
\int_{0}^{1}x\,y\,dx=0
e às fronteiras y(0)=0, y(1)=1.
Isso é um problema variacional com restrição isoperimétrica. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e a equação de Euler–Lagrange.

Passo 2

Introduzimos o multiplicador \lambda e consideramos o funcional aumentado
J[y]=\int_{0}^{1}\bigl(y^{\prime2}+\lambda\,x\,y\bigr)\,dx.
A condição de estacionariedade será dada pela equação de Euler–Lagrange para o integrando
F(x,y,y')=y^{\prime2}+\lambda x y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
F_{y'}=2y', \quad F_{y}=\lambda x.
A equação de Euler–Lagrange \frac{d}{dx}F_{y'}-F_{y}=0 vira
\frac{d}{dx}(2y')-\lambda x=0 \;\Longrightarrow\; 2y''-\lambda x=0 \;\Longrightarrow\; y''=\frac{\lambda}{2}\,x.

Passo 4

Integramos duas vezes para achar y:
y'(x)=\int \frac{\lambda}{2}x\,dx = \frac{\lambda}{4}x^2 + C_1,
y(x)=\int\Bigl(\frac{\lambda}{4}x^2 + C_1\Bigr)\,dx = \frac{\lambda}{12}x^3 + C_1 x + C_2.

Passo 5

Impondo y(0)=0 C_2=0. Impondo y(1)=1
\frac{\lambda}{12}\cdot1^3 + C_1\cdot1 =1 \;\Longrightarrow\; C_1 = 1-\frac{\lambda}{12}.
Logo
y(x)=\frac{\lambda}{12}x^3 + \Bigl(1-\frac{\lambda}{12}\Bigr)x.

Passo 6

Agora a condição integral
\int_{0}^{1}x\,y(x)\,dx=0
vira
\int_{0}^{1}x\Bigl(\frac{\lambda}{12}x^3 + \bigl(1-\frac{\lambda}{12}\bigr)x\Bigr)\,dx = \frac{\lambda}{12}\int_{0}^{1}x^4\,dx + \Bigl(1-\frac{\lambda}{12}\Bigr)\int_{0}^{1}x^2\,dx =0.

Passo 7

Usando \int_{0}^{1}x^4\,dx=\tfrac{1}{5} e \int_{0}^{1}x^2\,dx=\tfrac{1}{3}, temos
\frac{\lambda}{12}\cdot\frac{1}{5} + \Bigl(1-\frac{\lambda}{12}\Bigr)\cdot\frac{1}{3} =0 \;\Longrightarrow\; \frac{\lambda}{60} + \frac{1}{3} - \frac{\lambda}{36} =0.
Como \tfrac{1}{60}-\tfrac{1}{36}=-\tfrac{1}{90}, obtemos
-\frac{\lambda}{90} + \frac{1}{3}=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=30.

Passo 8

Substituindo \lambda=30 em y(x):
y(x) = \frac{30}{12}x^3 + \Bigl(1-\frac{30}{12}\Bigr)x = \frac{5}{2}x^3 + \bigl(1-\tfrac{5}{2}\bigr)x = \frac{5x^3-3x}{2}.

Resposta

y(x)=\frac{5x^3-3x}{2}.

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