Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
- Achar a curva que corresponde a distância mais curta entre dois pontos
na superfície
. A distância entre dois pontos numa superfície determinada pela fórmula:
Passo 1
O enunciado pede a curva de menor comprimento entre
e
sujeita à superfície
onde o comprimento é dado por
O conteúdo é geodésica numa superfície (aqui um plano), e vamos impor a condição
para eliminar uma das funções.
Passo 2
Da restrição
isolamos
de modo que
Substituindo em
obtemos uma funcional só de
:
Passo 3
Como
não depende de
explicitamente, a condição de Euler–Lagrange dá
Mas
ser constante implica que
é constante. Logo
Passo 4
Impondo as condições de contorno
e
:
Assim
Passo 5
Voltando à restrição para achar
:
Portanto a curva tem
.
Resposta
A curva de menor comprimento é a reta no plano dada por