Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
  1. Achar a curva que corresponde a distância mais curta entre dois pontos A(1,0,0), B(0,2,0) na superfície \varphi=x+y / 2+z-1=0. A distância entre dois pontos numa superfície determinada pela fórmula:
L[y, z]=\int_{x_{0}}^{x_{1}} \sqrt{1+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a curva de menor comprimento entre A(1,0,0) e B(0,2,0) sujeita à superfície
\varphi(x,y,z)=x+\frac{y}{2}+z-1=0,
onde o comprimento é dado por
L[y,z]=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+y'^2+z'^2}\,dx.
O conteúdo é geodésica numa superfície (aqui um plano), e vamos impor a condição \varphi=0 para eliminar uma das funções.

Passo 2

Da restrição \varphi=0 isolamos
z=1 - x - \frac{y}{2},
de modo que
z' = \frac{dz}{dx} = -1 - \frac{y'}{2}.
Substituindo em L obtemos uma funcional só de y:
L[y]=\int_{x_0}^{x_1}F(y')\,dx, \quad F(y')=\sqrt{1 + y'^2 +\bigl(-1-\tfrac{y'}{2}\bigr)^2} =\sqrt{2 + y' + \tfrac{5}{4}y'^2}.

Passo 3

Como F não depende de y explicitamente, a condição de Euler–Lagrange dá
\frac{\partial F}{\partial y'}=\text{const}.
Mas
\frac{\partial F}{\partial y'} =\frac{1 + \tfrac{5}{2}y'}{2\,\sqrt{2 + y' + \tfrac{5}{4}y'^2}}
ser constante implica que y' é constante. Logo
y(x)=A\,x+B.

Passo 4

Impondo as condições de contorno y(1)=0 e y(0)=2:
A\cdot1 + B = 0,\qquad B=2 \quad\Longrightarrow\quad A=-2,\;B=2.
Assim
y(x)=2 - 2x.

Passo 5

Voltando à restrição para achar z:
z(x)=1 - x - \frac{y(x)}{2} =1 - x - \frac{2 - 2x}{2} =1 - x -1 + x =0.
Portanto a curva tem z\equiv0.

Resposta

A curva de menor comprimento é a reta no plano dada por
y(x)=2 - 2x, \quad z(x)=0, \quad x\in[0,1].

Exercícios relacionados