Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
4. V[y]=\int_{0}^{1} y^{\prime 2} d x ; \int_{0}^{1} y d x=1 ; \int_{0}^{1} x y d x=0 ; y(0)=0, y(1)=0.

Passo 1

O problema pede minimizar
V[y]=\int_{0}^{1}y^{\prime2}\,dx
sujeito a
\int_{0}^{1}y\,dx=1,\quad \int_{0}^{1}x\,y\,dx=0,\quad y(0)=0,\;y(1)=0.
O método é usar cálculo das variações com dois multiplicadores de Lagrange \lambda e \mu.

Passo 2

Formamos o funcional estendido
J[y]=\int_{0}^{1}\bigl(y^{\prime2}+\lambda\,y+\mu\,x\,y\bigr)\,dx.
A condição de Euler–Lagrange para y
\frac{d}{dx}\bigl(2y'\bigr)-(\lambda+\mu\,x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2y''=\lambda+\mu\,x.

Passo 3

Integramos duas vezes
y'(x)=\frac{\lambda}{2}x+\frac{\mu}{4}x^{2}+C_{1},
y(x)=\frac{\lambda}{4}x^{2}+\frac{\mu}{12}x^{3}+C_{1}x+C_{2}.
Impondo y(0)=0 e y(1)=0 resulta
C_{2}=0, \qquad C_{1}=-\Bigl(\frac{\lambda}{4}+\frac{\mu}{12}\Bigr).

Passo 4

Usamos as restrições integrais:
\int_{0}^{1}y\,dx =\frac{\lambda}{12}+\frac{\mu}{48}+\frac{C_{1}}{2}=1,
\int_{0}^{1}x\,y\,dx =\frac{\lambda}{16}+\frac{\mu}{60}+\frac{C_{1}}{3}=0.
Substituindo C_{1}=-(\lambda/4+\mu/12) obtém-se o sistema linear
2\lambda+\mu=-48, \qquad 15\lambda+8\mu=0,
cuja solução é \lambda=-384, \mu=720.

Passo 5

Voltando à expressão de y com \lambda=-384, \mu=720 e
C_{1}= -\Bigl(\frac{-384}{4}+\frac{720}{12}\Bigr)=36,
temos
y(x) =\frac{-384}{4}x^{2}+\frac{720}{12}x^{3}+36x =-96x^{2}+60x^{3}+36x.

Resposta

y(x)=60x^{3}-96x^{2}+36x.

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