Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
1.
\begin{array}{r} \min \mathcal{I}=\int_{0}^{1} u^{2} d t \\\ \ddot{x}-x=u, x(0)=1, \dot{x}(0)=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para minimizar
\mathcal{I} = \int_{0}^{1}u(t)^{2}\,dt
sujeito à equação de estado de segunda ordem
\ddot x(t) - x(t) = u(t),
com condições iniciais
x(0)=1,\quad \dot x(0)=0,
e sem restrições sobre \,x(1)\, ou \,\dot x(1)\, (terminal livre). Vamos usar o Princípio Máximo de Pontryagin: definimos variáveis de estado de primeira ordem e derivamos o Hamiltoniano, as equações adjuntas e a condição ótima para u.

Passo 2

Definimos
x_{1}=x,\quad x_{2}=\dot x,
de modo que
\dot x_{1} = x_{2},\qquad \dot x_{2} = x_{1} + u.
O Hamiltoniano (para problema de minimização) é
H = u^{2} + p_{1}\,x_{2} + p_{2}\,(x_{1}+u),
onde p_{1},p_{2} são os costates. A condição de otimalidade \partial H/\partial u=0
\frac{\partial H}{\partial u} = 2u + p_{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad u^{*}(t) = -\frac{p_{2}(t)}{2}.

Passo 3

As equações adjuntas são
\dot p_{1} = -\frac{\partial H}{\partial x_{1}} = -p_{2}, \qquad \dot p_{2} = -\frac{\partial H}{\partial x_{2}} = -p_{1}.
Dessas vem
\ddot p_{1} = -\dot p_{2} = p_{1},
cuja solução geral é
p_{1}(t) = A\,e^{t} + B\,e^{-t}.
Então
p_{2}(t) = -\dot p_{1}(t) = -\bigl(A\,e^{t} - B\,e^{-t}\bigr).

Passo 4

Como o terminal é livre, vale a transversality
p_{1}(1)=0,\quad p_{2}(1)=0.
Isso gera o sistema
A\,e + B\,e^{-1}=0, \quad -\,A\,e + B\,e^{-1}=0
cuja única solução é A=0 e B=0. Logo
p_{1}(t)\equiv0,\quad p_{2}(t)\equiv0 \quad\Longrightarrow\quad u^{*}(t) = -\frac{p_{2}(t)}{2} = 0.

Passo 5

Com u(t)=0, o estado satisfaz
\ddot x - x = 0,
solução geral
x(t) = C\,e^{t} + D\,e^{-t}.
Impondo x(0)=1 e \dot x(0)=0
C + D = 1, \quad C - D = 0 \quad\Longrightarrow\quad C=D=\tfrac12.
Portanto
x(t) = \frac{e^{t}+e^{-t}}{2} = \operatorname{cosh}(t), \qquad \dot x(t) = \operatorname{sinh}(t).

Resposta

O controle ótimo é
u^{*}(t)=0,
e a trajetória ótima é
x^{*}(t)=\operatorname{cosh}(t), \quad \dot x^{*}(t)=\operatorname{sinh}(t).

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