Usando Princípio Máximo de Pontryagin, encontrar o controle e trajetórias ótimas dos seguintes problemas:
1.
1.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar
sujeito à equação de estado de segunda ordem
com condições iniciais
e sem restrições sobre
ou
(terminal livre). Vamos usar o Princípio Máximo de Pontryagin: definimos variáveis de estado de primeira ordem e derivamos o Hamiltoniano, as equações adjuntas e a condição ótima para
.
Passo 2
Definimos
de modo que
O Hamiltoniano (para problema de minimização) é
onde
são os costates. A condição de otimalidade
dá
Passo 3
As equações adjuntas são
Dessas vem
cuja solução geral é
Então
Passo 4
Como o terminal é livre, vale a transversality
Isso gera o sistema
cuja única solução é
e
. Logo
Passo 5
Com
, o estado satisfaz
solução geral
Impondo
e
dá
Portanto
Resposta
O controle ótimo é
e a trajetória ótima é