Resolver os seguintes problemas variacionais condicionados:
3. V[y]=\int_{0}^{1} y^{\prime 2} d x ; \int_{0}^{1} x y d x=0 ; y(0)=-4, y(1)=4.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar o funcional
V[y]=\int_{0}^{1}y'(x)^{2}\,dx
sujeito à condição de contorno y(0)=-4, y(1)=4 e ao vínculo integral
\int_{0}^{1}x\,y(x)\,dx = 0.
O conteúdo envolve cálculo variacional com restrição integral, que resolvemos usando multiplicador de Lagrange.

Passo 2

Introduzimos o multiplicador \lambda e consideramos o funcional augmentado
J[y]=\int_{0}^{1}\bigl(y'^{2} + \lambda\,x\,y\bigr)\,dx.
A equação de Euler–Lagrange para J é
\frac{d}{dx}\bigl(2y'\bigr)-\lambda\,x=0 \quad\Longrightarrow\quad 2y''-\lambda\,x=0 \quad\Longrightarrow\quad y''=\frac{\lambda}{2}\,x.

Passo 3

Integramos duas vezes y''=(\lambda/2)x:
y'(x)=\frac{\lambda}{4}\,x^{2}+C_{1}, \qquad y(x)=\frac{\lambda}{12}\,x^{3}+C_{1}\,x+C_{2}.
Impondo y(0)=-4 C_{2}=-4. Impondo y(1)=4
\frac{\lambda}{12}+C_{1}-4=4 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=8-\frac{\lambda}{12}.

Passo 4

Aplicamos o vínculo
\int_{0}^{1}x\,y(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\Bigl(\tfrac{\lambda}{12}x^{3}+C_{1}x-4\Bigr)dx=0.
Calculamos
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{\lambda}{12}x^{4}+C_{1}x^{2}-4x\Bigr)dx =\frac{\lambda}{12}\cdot\frac{1}{5}+C_{1}\cdot\frac{1}{3}-4\cdot\frac{1}{2}=0.
Substituindo C_{1}=8-\tfrac{\lambda}{12} resulta
\frac{\lambda}{60}+\frac{8-\tfrac{\lambda}{12}}{3}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=60.
Logo C_{1}=8-5=3 e C_{2}=-4.

Resposta

A solução que minimiza V[y] é
y(x)=5\,x^{3}+3\,x-4.

Exercícios relacionados