Resolver os sistemas abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss. \left\{\begin{array}{l}x+y+w+z=0 \\\ x+y+w-z=4 \\\ x+y-w+z=-4 \\\ x-y+w+z=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede a solução (os valores de x,y,w,z\)):
\[\begin{cases} x+y+w+z=0\\[4pt] x+y+w-z=4\\[4pt] x+y-w+z=-4\\[4pt] x-y+w+z=2 \end{cases}
Explicação rápida: cada linha da matriz corresponde a uma equação; os números são os coeficientes das incógnitas e o último valor é o lado direito da equação.]
Passo 3
Objetivo do método de eliminação: transformar a matriz aumentada em uma forma triangular (ou escalonada) usando operações elementares de linhas, de modo que possamos resolver as incógnitas por substituição regressiva. Operações elementares permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Começo eliminando os coeficientes da primeira coluna (abaixo do primeiro pivô). Faço:
Agora precisamos de um pivô na segunda coluna (linha 2, coluna 2). Observando a matriz atual, a linha 4 tem um coeficiente não nulo em coluna 2). Para trazer esse pivô para a linha 2, trocamos R_2 e R_4:
Explicação: trocar linhas não altera o conjunto de soluções, apenas facilita ter pivôs em posições diagonais para escalonar.]
Passo 5
Agora vamos simplificar cada linha que tem pivô multiplicando por constantes para deixar os pivôs iguais a 1 (isso facilita a leitura e a substituição posterior). Faço:
Comentário didático: agora temos uma matriz triangular (na verdade quase diagonal) — isso significa que cada linha representa uma equação simples já isolando uma incógnita.]
Passo 6
Interpretação das linhas agora como equações (cada linha i corresponde a uma equação linear):
\begin{aligned} &\text{Linha 1: } &&1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot w + 1\cdot z = 0,\\[4pt] &\text{Linha 2: } &&0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot w + 0\cdot z = -1,\\[4pt] &\text{Linha 3: } &&0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot w + 0\cdot z = 2,\\[4pt] &\text{Linha 4: } &&0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot w + 1\cdot z = -2. \end{aligned}
Da leitura direta:
y=-1,\qquad w=2,\qquad z=-2.]
Passo 7
Agora aplicamos substituição regressiva para encontrar x. Usamos a primeira equação que ainda contém x:
x+y+w+z=0.
Substituindo os valores encontrados \,y=-1,\;w=2,\;z=-2:
x + (-1) + 2 + (-2) = 0.
Calcule o somatório dentro:
(-1)+2+(-2) = -1.
Então:
x + (-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Passo 8
Resumo dos resultados encontrados e verificação rápida (opcional, para garantir que não houve erro):
Substituindo (x,y,w,z)=(1,-1,2,-2) nas equações originais: