Resolver os sistemas abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}x+y+w+z=0 \\\ x+y+w-z=4 \\\ x+y-w+z=-4 \\\ x-y+w+z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede a solução (os valores de x,y,w,z\)): \[\begin{cases} x+y+w+z=0\\[4pt] x+y+w-z=4\\[4pt] x+y-w+z=-4\\[4pt] x-y+w+z=2 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: } &&x+y+w+z=0,\\\ &\text{Equação 2: } &&x+y+w-z=4,\\\ &\text{Equação 3: } &&x+y-w+z=-4,\\\ &\text{Equação 4: } &&x-y+w+z=2. \end{aligned}çãçãçãçã
Objetivo: encontrar os números (,x,;y,;w,;z] que satisfazem todas as quatro equações simultaneamente.]

Passo 2

Transformação do sistema em matriz aumentada — aqui eu coloco as colunas na ordem das incógnitas \,x,y,w,z e a coluna final é o termo independente:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 1 & -4\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]
Explicação rápida: cada linha da matriz corresponde a uma equação; os números são os coeficientes das incógnitas e o último valor é o lado direito da equação.]

Passo 3

Objetivo do método de eliminação: transformar a matriz aumentada em uma forma triangular (ou escalonada) usando operações elementares de linhas, de modo que possamos resolver as incógnitas por substituição regressiva. Operações elementares permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Começo eliminando os coeficientes da primeira coluna (abaixo do primeiro pivô). Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculemos cada uma:
R2: [1,1,1,-1\mid4] - [1,1,1,1\mid0] = [0,0,0,-2\mid4].
R3: [1,1,-1,1\mid-4] - [1,1,1,1\mid0] = [0,0,-2,0\mid-4].
R4: [1,-1,1,1\mid2] - [1,1,1,1\mid0] = [0,-2,0,0\mid2].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & -2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora precisamos de um pivô na segunda coluna (linha 2, coluna 2). Observando a matriz atual, a linha 4 tem um coeficiente não nulo em coluna 2 ). Para trazer esse pivô para a linha 2, trocamos R_2 e R_4:
R_2 \leftrightarrow R_4.
Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 4 \end{array}\right]
Explicação: trocar linhas não altera o conjunto de soluções, apenas facilita ter pivôs em posições diagonais para escalonar.]

Passo 5

Agora vamos simplificar cada linha que tem pivô multiplicando por constantes para deixar os pivôs iguais a 1 (isso facilita a leitura e a substituição posterior). Faço:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-2}R_2,\qquad R_3 \leftarrow \frac{1}{-2}R_3,\qquad R_4 \leftarrow \frac{1}{-2}R_4.
Calculando:
R2: [0,-2,0,0\mid2]\cdot(-\tfrac{1}{2}) = [0,1,0,0\mid-1].
R3: [0,0,-2,0\mid-4]\cdot(-\tfrac{1}{2}) = [0,0,1,0\mid2].
R4: [0,0,0,-2\mid4]\cdot(-\tfrac{1}{2}) = [0,0,0,1\mid-2].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]
Comentário didático: agora temos uma matriz triangular (na verdade quase diagonal) — isso significa que cada linha representa uma equação simples já isolando uma incógnita.]

Passo 6

Interpretação das linhas agora como equações (cada linha i corresponde a uma equação linear):
\begin{aligned} &\text{Linha 1: } &&1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot w + 1\cdot z = 0,\\[4pt] &\text{Linha 2: } &&0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot w + 0\cdot z = -1,\\[4pt] &\text{Linha 3: } &&0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot w + 0\cdot z = 2,\\[4pt] &\text{Linha 4: } &&0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot w + 1\cdot z = -2. \end{aligned}
Da leitura direta:
y=-1,\qquad w=2,\qquad z=-2.]

Passo 7

Agora aplicamos substituição regressiva para encontrar x. Usamos a primeira equação que ainda contém x:
x+y+w+z=0.
Substituindo os valores encontrados \,y=-1,\;w=2,\;z=-2:
x + (-1) + 2 + (-2) = 0.
Calcule o somatório dentro:
(-1)+2+(-2) = -1.
Então:
x + (-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Passo 8

Resumo dos resultados encontrados e verificação rápida (opcional, para garantir que não houve erro):
Substituindo (x,y,w,z)=(1,-1,2,-2) nas equações originais:
\begin{aligned} &x+y+w+z = 1+(-1)+2+(-2)=0 &&\checkmark\\[4pt] &x+y+w-z = 1+(-1)+2-(-2)=4 &&\checkmark\\[4pt] &x+y-w+z = 1+(-1)-2+(-2)=-4 &&\checkmark\\[4pt] &x-y+w+z = 1-(-1)+2+(-2)=2 &&\checkmark \end{aligned}
Todas as quatro checagens conferem, então a solução está correta.]

Resposta

x=1
y=-1
w=2
z=-2

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