Discutir os seguintes sistemas lineares (em função de a ): \left\{\begin{array}{ccc}x+y-a z & =0 \\\ a x+y-z & =2-a \\\ x+a y-z & =-a\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em função do parâmetro a\):
\[\begin{cases} x+y-az=0,\\[4pt] ax+y-z=2-a,\\[4pt] x+ay-z=-a. \end{cases}
O que nos pedem: discutir o sistema em função de a\]. Ou seja, para cada valor de \(a devemos dizer se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou é incompatível (sem solução); e, quando houver solução única, apresentar essa solução. As incógnitas são x,y,z e a é parâmetro real. Todas as informações do enunciado estão acima.]
Passo 2
Método escolhido e justificativa (breve): como temos uma matriz quadrada de coeficientes 3\times3, uma maneira padrão e eficiente é calcular o determinante da matriz de coeficientes. Regra útil (teoria necessária): para um sistema linear quadrado A\mathbf{x}=\mathbf{b},
\text{se }\det(A)\neq0\text{ então existe uma única solução;}ãúçã
\text{se }\det(A)=0\text{ então ou há infinitas soluções ou o sistema é incompatível (depende da consistência).}ãáçõéíê
Então primeiro vamos montar a matriz de coeficientes e calcular seu determinante. A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -a\\[4pt] a & 1 & -1\\[4pt] 1 & a & -1 \end{pmatrix}.
Agora calculamos \det(A) por expansão (vou desenvolver passo a passo):
Fatorizamos o polinômio (procure raízes óbvias): a=1 é raiz, e dividindo obtemos
-a^{3}+3a-2=-(a^{3}-3a+2)=-(a-1)^{2}(a+2).
Portanto
\det(A)=-(a-1)^{2}(a+2).
Conclusão imediata da teoria: \det(A)\neq0 quando a\neq1 e a\neq-2; nesses valores o sistema terá solução única. Nos casos a=1 ou a=-2 temos \det(A)=0 e precisamos analisar consistência (ver se há soluções ou não).]
Passo 3
Resolver o caso a\neq1\) e \(a\neq-2\) (determinante não nulo): vamos usar eliminação linear (Gaussian) para obter explicitamente \(x,y,z\). Reescrevo o sistema:
\[\begin{cases} x+y-az=0,\\[4pt] ax+y-z=2-a,\\[4pt] x+ay-z=-a. \end{cases}
Primeiro faço combinações que eliminam (x] das equações 2 e 3, usando a equação 1.
Subtraio a\) vezes a equação 1 da equação 2:
\[(\text{eq2})-a\cdot(\text{eq1}):\quad (ax+y-z)-a(x+y-az)=(2-a)-a\cdot0.
No lado esquerdo: ax+y-z - ax - a y + a^{2}z = (1-a)y + (a^{2}-1)z.
No lado direito: 2-a.
Então obtemos
(1-a)y+(a^{2}-1)z=2-a.
Agora subtraio a equação 1 da equação 3:
(\text{eq3})-(\text{eq1}):\quad (x+ay-z)-(x+y-az)= -a - 0.
No lado esquerdo: x+ay-z - x - y + a z = (a-1)y + (a-1)z.
No lado direito: -a.
Logo
(a-1)(y+z)=-a.
Como estamos no caso a\neq1, podemos dividir por a-1 nas equações derivadas. A partir de (a-1)(y+z)=-a vem
y+z=-\dfrac{a}{a-1}.
A outra equação, (1-a)y+(a^{2}-1)z=2-a, podemos reescrever factorizando 1-a=-(a-1) e a^{2}-1=(a-1)(a+1). Dividindo por a-1 (com cuidado do sinal) obtemos
Subtraindo a segunda equação da primeira (primeira menos segunda) para eliminar y\]:
\[(y+z)-(y-(a+1)z)=(a+2)z=\left(-\dfrac{a}{a-1}\right)-\left(\dfrac{a-2}{a-1}\right).\]
O lado direito simplifica:
\[-\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{a-2}{a-1}=\dfrac{-a-(a-2)}{a-1}=\dfrac{2-2a}{a-1}=\dfrac{2(1-a)}{a-1}=-2.\]
Portanto \((a+2)z=-2. Como estamos no caso a\neq-2, podemos dividir e obter
(Estas fórmulas são válidas sempre que a\neq1 e a\neq-2.)]
Passo 4
Analisar o caso a=1\) (determinante zero): substituo \(a=1\) nas três equações originais:
\[\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] x+y-z=1,\\[4pt] x+y-z=-1. \end{cases}
Observe que as três equações têm o mesmo lado esquerdo x+y-z\] mas três valores diferentes no lado direito \((0,1,-1). Isso é impossível: não existe número x+y-z que seja simultaneamente 0, 1 e -1. Portanto o sistema é incompatível (sem solução) quando a=1.]
Passo 5
Analisar o caso a=-2\) (determinante zero): substituo \(a=-2\) nas equações:
\[\begin{cases} x+y+2z=0,\\[4pt] -2x+y-z=4,\\[4pt] x-2y-z=2. \end{cases}
Da primeira equação x=-y-2z\]. Substituindo em (segunda):
\[-2(-y-2z)+y-z=4 \Rightarrow 2y+4z+y-z=4 \Rightarrow 3y+3z=4 \Rightarrow y+z=\tfrac{4}{3}.\]
Substituindo \(x=-y-2z em (terceira):