Ao resolvermos o problema da partícula em um poço de potencial infinito em sala de aula, escolhemos
,
para que a condição de contorno
em
fosse satisfeita. Contudo,
também satisfaz essa condição de contorno. Por que razão não escolhemos esses valores negativos de
para compor a solução, mas apenas os valores positivos? Perdemos algum aspecto da natureza escolhendo apenas metade das soluções?
Passo 1
O enunciado trata da partícula num poço infinito de largura
. Dentro do poço a equação de Schrödinger livre dá uma solução geral
e as condições de contorno são
e
. O que precisamos é impor essas condições para achar os valores permitidos de
(e, portanto, os níveis de energia).
Passo 2
Impondo
temos
então sobra
Agora
exige
ou seja
Passo 3
Repare que para
a função
é trivial (não é estado físico). Para
temos
isto é, a “onda” de índice
difere só por um sinal multiplicativo (fase global) da de índice
. Fases globais não são observáveis e não geram nova função‐estado.
Passo 4
Como a energia é dada por
vemos que
, mas a função de onda é a mesma até um sinal. Portanto não há degenerescência extra nem estado físico novo ao escolher
.
Resposta
Só consideramos
porque:
-
dá , não serve como estado normalizável. -
gera , ou seja, a mesma solução até fase global.
Logo, não perdemos nada da natureza: estamos apenas removendo soluções redundantes.