Com respeito à série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} podemos dizer que:
(a) Esta série diverge para -\infty.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Esta série converge para um número real positivo.
(e) Esta série converge para zero.
(f) Esta série diverge para +\infty.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
e apresenta as alternativas (a)–(f). A tarefa é identificar qual alternativa é verdadeira. Informação relevante fornecida:
O termo geral da série é \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}.
As alternativas dizem se a série converge e, se sim, para que tipo de número, ou se diverge para +\infty ou para -\infty, ou se nenhuma é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, simplificar o índice para trabalhar com uma forma familiar. Observa-se que
Isto porque trocar a soma a partir de n=0 por n=1 apenas reindexa os termos. O termo geral é \dfrac{1}{\sqrt{n}}>0 para todo n\ge1. Importante: uma série com todos os termos positivos tem somas parciais monotonicamente crescentes (cada termo novo soma algo não-negativo), portanto o que pode acontecer é:
as somas parciais convergirem para um número real finito (convergência), ou
as somas parciais iam para +\infty (divergência para +\infty).
Não pode divergir para -\infty nem oscilar entre sinais, porque todos os termos são positivos.
Passo 3
Vou usar um teste clássico para séries do tipo \sum 1/n^{p}\) (a chamada p-série). A p-série é
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
O resultado que preciso é: esta p-série converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le1. Vou explicar por que isso vale (usando o teste integral), porque ajuda a entender o caso concreto.
O teste integral afirma: se f(x) é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. No caso f(x)=x^{-p} temos
Aqui p=\tfrac{1}{2}\le1. Pelo resultado do Passo 3, a p-série com p=\tfrac{1}{2} diverge. Para ficar bem explícito com o teste integral, considere f(x)=x^{-1/2}, que é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty). Calculando a integral:
A integral diverge, portanto, pela hipótese do teste integral, a série diverge.
Passo 5
Como todos os termos da série são positivos, as somas parciais formam uma sequência crescente. A divergência mostrada no passo anterior significa que essa sequência de somas parciais é não limitada superiormente, isto é, ela tende a +\infty. Portanto a série diverge para +\infty.
Com isso, podemos eliminar todas as alternativas que afirmam convergência (positiva, negativa ou zero) e também a que afirma divergência para -\infty. A alternativa correta é a que diz que a série diverge para +\infty.