Com respeito à série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} podemos dizer que:
(a) Esta série diverge para -\infty.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Esta série converge para um número real positivo.
(e) Esta série converge para zero.
(f) Esta série diverge para +\infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
e apresenta as alternativas (a)–(f). A tarefa é identificar qual alternativa é verdadeira. Informação relevante fornecida:
  • O termo geral da série é \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}.
  • As alternativas dizem se a série converge e, se sim, para que tipo de número, ou se diverge para +\infty ou para -\infty, ou se nenhuma é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, simplificar o índice para trabalhar com uma forma familiar. Observa-se que
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}.
Isto porque trocar a soma a partir de n=0 por n=1 apenas reindexa os termos. O termo geral é \dfrac{1}{\sqrt{n}}>0 para todo n\ge1. Importante: uma série com todos os termos positivos tem somas parciais monotonicamente crescentes (cada termo novo soma algo não-negativo), portanto o que pode acontecer é:
  • as somas parciais convergirem para um número real finito (convergência), ou
  • as somas parciais iam para +\infty (divergência para +\infty).
    Não pode divergir para -\infty nem oscilar entre sinais, porque todos os termos são positivos.

Passo 3

Vou usar um teste clássico para séries do tipo \sum 1/n^{p}\) (a chamada p-série). A p-série é \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
O resultado que preciso é: esta p-série converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le1. Vou explicar por que isso vale (usando o teste integral), porque ajuda a entender o caso concreto.
O teste integral afirma: se f(x) é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. No caso f(x)=x^{-p} temos
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx= \begin{cases} \dfrac{1}{1-p}\bigl[x^{1-p}\bigr]_{1}^{\infty}, & p\neq1,\\[6pt] \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{\infty}, & p=1. \end{cases}
  • Se p>1\] então \(1-p<0 e x^{1-p}\to0 quando x\to\infty, então a integral converge (valor finito). Logo a série converge.
  • Se p\le1 então a integral diverge ( x^{1-p}\to\infty ou \ln x\to\infty), logo a série diverge.
Esse é o argumento que estabelece a regra da p-série.]

Passo 4

Agora aplicar isso ao nosso caso. A série pode ser escrita como uma p-série com p=\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}.
Aqui p=\tfrac{1}{2}\le1. Pelo resultado do Passo 3, a p-série com p=\tfrac{1}{2} diverge. Para ficar bem explícito com o teste integral, considere f(x)=x^{-1/2}, que é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty). Calculando a integral:
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R} x^{-1/2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\bigl[2x^{1/2}\bigr]_{1}^{R} =\lim_{R\to\infty}(2\sqrt{R}-2)=+\infty.
A integral diverge, portanto, pela hipótese do teste integral, a série diverge.

Passo 5

Como todos os termos da série são positivos, as somas parciais formam uma sequência crescente. A divergência mostrada no passo anterior significa que essa sequência de somas parciais é não limitada superiormente, isto é, ela tende a +\infty. Portanto a série diverge para +\infty.
Com isso, podemos eliminar todas as alternativas que afirmam convergência (positiva, negativa ou zero) e também a que afirma divergência para -\infty. A alternativa correta é a que diz que a série diverge para +\infty.

Resposta

(f)

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