Calcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando o raio do balão é igual a 5 cm .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio quando o raio vale 5\\ \text{cm}.
Informações relevantes fornecidas:
O raio do balão no ponto de interesse é r=5\\ \text{cm}.
O que se pede é a derivada do volume em relação ao raio, isto é \dfrac{dV}{dr}, avaliada em r=5\\ \text{cm}.
Passo 2
Qual é a relação entre volume e raio para uma esfera? Vou apresentar a fórmula usada na resolução.
A fórmula conhecida para o volume V de uma esfera em função do raio r é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui:
V é o volume, medido em \text{cm}^{3} se r estiver em \text{cm};
r é o raio, medido em \text{cm};
\pi é a constante (aproximadamente 3{,}14159\ldots).
Breve comentário intuitivo: a fórmula vem da integração das “camadas” esféricas ao longo do raio; para nossa prova não é preciso derivar essa fórmula agora, basta conhecê-la e saber como diferenciá-la.
Passo 3
O que significa \dfrac{dV}{dr}? Explicação didática:
\dfrac{dV}{dr} é a taxa de variação instantânea do volume em relação ao raio. Em palavras, diz quantos centímetros cúbicos (\text{cm}^3) o volume aumenta quando o raio aumenta de 1\\ \text{cm}.
Unidade de \dfrac{dV}{dr}: como V tem unidade \text{cm}^3 e r tem unidade \text{cm}, \dfrac{dV}{dr} tem unidade \text{cm}^2. Isso faz sentido geometricamente: a derivada 4\pi r^2 será a área da superfície da esfera.
Também vale lembrar a noção básica de derivada que vamos usar: se V(r) é dada por uma expressão algébrica, diferenciamos termo a termo usando regras como a regra do poder (power rule).
Passo 4
Aplicando a diferenciação passo a passo usando a regra do poder:
Regra do poder: se f(r)=r^{n}, então f'(r)=n\,r^{n-1}.
Simplificando o 3 no numerador com o \tfrac{1}{3}:
\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}.
Comentário: essa fórmula 4\pi r^{2} é, como disse antes, a área da superfície da esfera — tem uma interpretação geométrica bonita: a taxa com que o volume cresce ao aumentar o raio é igual à área superficial.
Passo 5
Agora avaliamos a derivada no ponto r=5\\ \text{cm}.