Calcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando o raio do balão é igual a 5 cm .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio quando o raio vale 5\\ \text{cm}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O raio do balão no ponto de interesse é r=5\\ \text{cm}.
  • O que se pede é a derivada do volume em relação ao raio, isto é \dfrac{dV}{dr}, avaliada em r=5\\ \text{cm}.

Passo 2

Qual é a relação entre volume e raio para uma esfera? Vou apresentar a fórmula usada na resolução.
A fórmula conhecida para o volume V de uma esfera em função do raio r é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui:
  • V é o volume, medido em \text{cm}^{3} se r estiver em \text{cm};
  • r é o raio, medido em \text{cm};
  • \pi é a constante (aproximadamente 3{,}14159\ldots).
Breve comentário intuitivo: a fórmula vem da integração das “camadas” esféricas ao longo do raio; para nossa prova não é preciso derivar essa fórmula agora, basta conhecê-la e saber como diferenciá-la.

Passo 3

O que significa \dfrac{dV}{dr}? Explicação didática:
  • \dfrac{dV}{dr} é a taxa de variação instantânea do volume em relação ao raio. Em palavras, diz quantos centímetros cúbicos ( \text{cm}^3) o volume aumenta quando o raio aumenta de 1\\ \text{cm}.
  • Unidade de \dfrac{dV}{dr}: como V tem unidade \text{cm}^3 e r tem unidade \text{cm}, \dfrac{dV}{dr} tem unidade \text{cm}^2. Isso faz sentido geometricamente: a derivada 4\pi r^2 será a área da superfície da esfera.
Também vale lembrar a noção básica de derivada que vamos usar: se V(r) é dada por uma expressão algébrica, diferenciamos termo a termo usando regras como a regra do poder (power rule).

Passo 4

Aplicando a diferenciação passo a passo usando a regra do poder:
Regra do poder: se f(r)=r^{n}, então f'(r)=n\,r^{n-1}.
Temos
V(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Diferenciando em relação a r:
\frac{dV}{dr}=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{d}{dr}\bigl(r^{3}\bigr).
Pelo regra do poder,
\frac{d}{dr}\bigl(r^{3}\bigr)=3r^{2}.
Portanto
\frac{dV}{dr}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^{2}.
Simplificando o 3 no numerador com o \tfrac{1}{3}:
\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}.
Comentário: essa fórmula 4\pi r^{2} é, como disse antes, a área da superfície da esfera — tem uma interpretação geométrica bonita: a taxa com que o volume cresce ao aumentar o raio é igual à área superficial.

Passo 5

Agora avaliamos a derivada no ponto r=5\\ \text{cm}.
Substituindo r=5 em \dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}:
\left.\frac{dV}{dr}\right|_{r=5}=4\pi(5)^{2}=4\pi\cdot 25=100\pi.
Unidade: como explicado, a unidade é \text{cm}^{2}. Se quiser um valor numérico aproximado, use \pi\approx 3{,}14159:
100\pi\approx 314{,}16\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

100\pi\\ \text{cm}^{2}\\ \approx 314{,}16\\ \text{cm}^{2}

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