Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é matriz n times n e A^2=0 então A=0, aqui 0 é a matriz nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação "Se A é uma matriz n times n e A^2=0, então A=0" é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes nilpotentes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz A é chamada de nilpotente se existe algum número inteiro positivo k tal que A^k = 0. No caso da afirmação, temos que A^2 = 0, o que indica que A é uma matriz nilpotente de índice 2.

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se A^2 = 0, então necessariamente A tem que ser a matriz nula 0. Mas será que isso é sempre verdade? Vamos pensar: se uma matriz ao quadrado dá zero, será que ela já tinha que ser zero desde o início?

Passo 4

Na verdade, nem sempre. Podemos construir um exemplo de uma matriz que não é nula, mas que ao ser elevada ao quadrado resulta na matriz nula. Por exemplo, considere a seguinte matriz A de ordem 2:
A = 0 & 1 0 & 0
Vamos calcular A^2:

$$
A^{2} = A \cdot A = A^2 = A cdot A = 0 & 1 0 & 0 cdot 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 = 0
\cdot
A^2 = 0

A neq 0
= \mathbf{0}
$$
Aqui, vemos que , mas claramente .

Resposta

Falso. Existem matrizes não nulas A que satisfazem A^2 = 0, como o exemplo apresentado.

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