Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se
é matriz
e
então
, aqui
é a matriz nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação "Se
é uma matriz
e
, então
" é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes nilpotentes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz
é chamada de nilpotente se existe algum número inteiro positivo
tal que
. No caso da afirmação, temos que
, o que indica que
é uma matriz nilpotente de índice 2.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se
, então necessariamente
tem que ser a matriz nula
. Mas será que isso é sempre verdade? Vamos pensar: se uma matriz ao quadrado dá zero, será que ela já tinha que ser zero desde o início?
Passo 4
Na verdade, nem sempre. Podemos construir um exemplo de uma matriz que não é nula, mas que ao ser elevada ao quadrado resulta na matriz nula. Por exemplo, considere a seguinte matriz
de ordem 2:
Vamos calcular
:
$$
A^{2} = A \cdot A =
\cdot
= \mathbf{0}
$$
Aqui, vemos que
, mas claramente
.
Resposta
Falso. Existem matrizes não nulas
que satisfazem
, como o exemplo apresentado.