Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se
é uma matriz
e
então
é invertível (i.é.
para alguma matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas (daquelas com o mesmo número de linhas e colunas) e pergunta se uma certa condição garante que a matriz
é invertível. O conteúdo aqui é da álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como manipular equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que quando você multiplica
por
, em qualquer ordem, o resultado é a matriz identidade
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação dada:
. Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar em uma expressão que mostre que
pode ser escrito como uma combinação das potências de
. Se conseguirmos isso, significa que
tem um inverso.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação:
Isso já está quase no ponto que queremos. Agora, podemos fatorar
:
Aqui, estamos vendo que multiplicar
por alguma combinação de suas potências e a matriz identidade dá
. Isso sugere que a combinação dentro dos parênteses é o inverso de
.
Passo 5
Assim, podemos identificar que:
é a matriz que, quando multiplicada por
, resulta na identidade:
Portanto,
é o inverso de
, o que significa que
é invertível.
Resposta
Verdadeiro. A matriz
é invertível conforme a condição dada.