Responda os itens abaixo:
(1.0) Sabendo que
\log _{5}\left(x^{5}\right)-\log _{5}\left(5^{3}\right)=C \ln (x)+D
Qual os valores de C e D.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\log_{5}\bigl(x^{5}\bigr)-\log_{5}\bigl(5^{3}\bigr)=C\ln(x)+D
e pede: determinar os valores de C e D. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão à esquerda contém logaritmos na base 5 e potência de x.
  • A expressão à direita é da forma C\ln(x)+D, ou seja, um coeficiente multiplicando \ln(x) mais um termo constante.
    O objetivo é reescrever o lado esquerdo em termos de \ln(x) e um termo constante, e então identificar C e D.

Passo 2

Usar a propriedade de potência do logaritmo: para qualquer base a>0, a\neq1, e qualquer b>0, vale
\log_{a}\bigl(b^{k}\bigr)=k\log_{a}(b).
Aplicando isso aos dois termos do lado esquerdo:
\log_{5}\bigl(x^{5}\bigr)=5\log_{5}(x), \qquad \log_{5}\bigl(5^{3}\bigr)=3.
Portanto a expressão à esquerda fica
5\log_{5}(x)-3.

Passo 3

Agora usar a fórmula de mudança de base (change of base): para a>0, a\neq1, e x>0,
\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural. Aqui a=5, logo
\log_{5}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(5)}.

Passo 4

Substituir \log_{5}(x) em 5\log_{5}(x)-3:
5\log_{5}(x)-3 = 5\cdot\frac{\ln(x)}{\ln(5)}-3.
Fazer a multiplicação:
5\cdot\frac{\ln(x)}{\ln(5)}-3=\frac{5}{\ln(5)}\ln(x)-3.

Passo 5

Comparar a forma obtida com o lado direito C\ln(x)+D. Os termos correspondem:
  • o coeficiente que multiplica \ln(x) é \dfrac{5}{\ln(5)}, que deve ser igual a C;
  • o termo constante é -3, que deve ser igual a D.

Resposta

C=\dfrac{5}{\ln(5)}
D=-3

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