Questão 2 \beta Calcule a derivada das seguintes funções:
(b) g(x)=\cos x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\cos x^{2} e pede para calcular a derivada g'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta: um cosseno aplicado a x^{2}.
  • O objetivo é obter uma expressão para a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Vou lembrar a derivada da função cosseno quando a variável é a própria x. A regra é:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
Explicação: derivar significa medir a taxa de variação. Para o cosseno, essa taxa em cada ponto é -\sin do mesmo argumento. Aqui a variável do cosseno é genérica; se o argumento mudar, precisamos ajustar isso (isso vem no passo da regra da cadeia).

Passo 3

Agora a derivada da parte interna x^{2}. Pela regra do poder (power rule):
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
Explicação curta: para x^{n} com n inteiro positivo, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. No caso n=2 2x.

Passo 4

Apresento a regra da cadeia (cadeia de funções), que é a ferramenta para derivar funções compostas. Se tivermos
h(x)=f\big(u(x)\big),
então a derivada é
h'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Significado: primeiro deriva-se a função exterior f avaliando-a no argumento interno u(x), depois multiplica-se pelo derivado do argumento interno u'(x). É como “desembrulhar” a composição: derivar o invólucro e multiplicar pela taxa de variação do recheio.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia à nossa função. Defino a função interna
u(x)=x^{2}
e a função exterior
f(u)=\cos u.
Então g(x)=f\big(u(x)\big). Pelas regras anteriores:
  • f'(u) = \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u.
  • u'(x) = \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
Usando a regra da cadeia,
g'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x) = \big(-\sin(u(x))\big)\cdot(2x).

Passo 6

Substituo u(x)=x^{2} na expressão e simplifico:
g'(x) = -\sin\big(x^{2}\big)\cdot 2x = -2x\,\sin\big(x^{2}\big).
Essa é a forma final e prática que você deve escrever na prova.

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar: se fosse h(x)=\cos(3x), segue o mesmo raciocínio com u(x)=3x, u'(x)=3, então
h'(x)=-\sin(3x)\cdot 3 = -3\sin(3x).
Dica de prova: sempre identifique a parte interna u(x) e aplique a regra da cadeia; assim você evita erros.

Resposta

-2x\sin\big(x^{2}\big)

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