Questão
Calcule a derivada das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é composta: um cosseno aplicado a
. - O objetivo é obter uma expressão para a derivada de
em termos de .
Passo 2
Vou lembrar a derivada da função cosseno quando a variável é a própria
. A regra é:
Explicação: derivar significa medir a taxa de variação. Para o cosseno, essa taxa em cada ponto é
do mesmo argumento. Aqui a variável do cosseno é genérica; se o argumento mudar, precisamos ajustar isso (isso vem no passo da regra da cadeia).
Passo 3
Agora a derivada da parte interna
. Pela regra do poder (power rule):
Explicação curta: para
com
inteiro positivo,
. No caso
dá
.
Passo 4
Apresento a regra da cadeia (cadeia de funções), que é a ferramenta para derivar funções compostas. Se tivermos
então a derivada é
Significado: primeiro deriva-se a função exterior
avaliando-a no argumento interno
, depois multiplica-se pelo derivado do argumento interno
. É como “desembrulhar” a composição: derivar o invólucro e multiplicar pela taxa de variação do recheio.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia à nossa função. Defino a função interna
e a função exterior
Então
. Pelas regras anteriores:
Usando a regra da cadeia,
Passo 6
Substituo
na expressão e simplifico:
Essa é a forma final e prática que você deve escrever na prova.
Passo 7
Pequeno exemplo para fixar: se fosse
, segue o mesmo raciocínio com
,
, então
Dica de prova: sempre identifique a parte interna
e aplique a regra da cadeia; assim você evita erros.