Responda os itens a seguir.
Alimentos são bens normais, mas com elasticidade-renda da demanda menor que 1. À medida que a renda das famílias aumenta, o que acontece com a fração da renda gasta com alimentos?

Passo 1

O enunciado diz que alimentos são bens normais com elasticidade-renda da demanda menor que 1. A pergunta é: à medida que a renda das famílias aumenta, o que acontece com a fração da renda gasta com alimentos?
Informações relevantes fornecidas: \eta (elasticidade-renda da demanda para alimentos) satisfaz 0<\eta<1.

Passo 2

Vamos entender o que significa a elasticidade-renda da demanda e como ela é calculada. Seja Y a renda do agregado familiar e Q(Y) a quantidade de alimentos demandada quando a renda é Y. A elasticidade-renda da demanda \eta é definida por
\eta = \frac{dQ}{dY}\frac{Y}{Q}.
Significado: \eta mede a variação percentual em Q quando Y varia 1%. Se \eta>0, o bem é normal (mais renda → mais consumo). Se 0<\eta<1, o consumo aumenta com renda, mas menos do que proporcionalmente.

Passo 3

Agora vamos definir gasto com alimentos e a fração (participação) desse gasto na renda. Seja p o preço dos alimentos (assumimos p constante). O gasto em alimentos é
E(Y) = p\,Q(Y).
A fração da renda gasta com alimentos (participação orçamentária) é
s(Y) = \frac{E(Y)}{Y} = \frac{p\,Q(Y)}{Y}.
Queremos saber como s(Y) varia quando Y aumenta.

Passo 4

Primeiro, a elasticidade da despesa E em relação à renda é
\frac{dE}{dY}\frac{Y}{E}=\frac{d(pQ)}{dY}\frac{Y}{pQ}=\frac{dQ}{dY}\frac{Y}{Q}=\eta,
ou seja, a despesa em alimentos aumenta com a renda com elasticidade \eta. Agora derivamos s(Y) em relação a Y:
\frac{ds}{dY}=\frac{d}{dY}\!\left(\frac{pQ}{Y}\right)=\frac{p}{Y}\frac{dQ}{dY}-\frac{pQ}{Y^2}.
Colocando em fator comum \frac{pQ}{Y^2} e usando a definição de \eta obtemos
\frac{ds}{dY}=\frac{pQ}{Y^2}\,(\eta-1).
Também podemos escrever, usando s=\dfrac{pQ}{Y},
\frac{ds}{dY}=\frac{s}{Y}(\eta-1).

Passo 5

Interpretação: como p>0, Q>0 e Y>0, o sinal de \dfrac{ds}{dY} é o sinal de \eta-1. Como no enunciado temos 0<\eta<1, segue que \eta-1<0 e, portanto,
\frac{ds}{dY}<0.
Ou seja, a participação da renda gasta em alimentos diminui quando a renda aumenta. Intuição simples: gastos com alimentos crescem com a renda, mas crescem menos do que proporcionalmente (porque \eta<1), logo a parcela do total da renda dedicada a alimentos cai. Exemplo numérico rápido: se Q=kY^{\eta} com \eta=1/2, então s \propto Y^{\eta-1}=Y^{-1/2}, que decresce quando Y aumenta.

Resposta

A fração da renda gasta com alimentos diminui à medida que a renda aumenta.

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