Responda os itens a seguir:
a) Enuncie, sem pesquisar, somente pensando, uma versão do Teorema do Confronto para limites da forma
e da forma
.
b) Faça uma pesquisa para se certificar se o que você enunciou no item anterior é correto ou se precisa de ajustes.
c) Calcule
e
.
a) Enuncie, sem pesquisar, somente pensando, uma versão do Teorema do Confronto para limites da forma
b) Faça uma pesquisa para se certificar se o que você enunciou no item anterior é correto ou se precisa de ajustes.
c) Calcule
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- enunciar, “de cabeça”, o Teorema do Confronto para limites quando
e quando ; - pesquisar em bibliografia se o que enunciamos está correto ou precisa de ajuste;
- calcular
e .
Para isso vamos usar o conceito de funções comparáveis por meio de desigualdades e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
Passo 2
Enunciado “de cabeça” do Teorema do Confronto:
Para
: se existem funções
e uma constante
tais que, para todo
,
e ainda
então
Para
: se existem funções
e uma constante
tais que, para todo
,
e ainda
então
Passo 3
Ao pesquisar em livros de Análise (por exemplo Apostol ou Ross), verificamos que o enunciado está correto. A única observação é explicitar que “existe
” (ou “existe
”) tal que as desigualdades valem para todos os
suficientemente grandes (ou suficientemente pequenos). Não há outro ajuste importante.
Passo 4
Cálculo de
:
Como para todo
, temos
Como
Mas
Pelo Teorema do Confronto segue
Passo 5
Cálculo de
:
Sempre que (isso define o domínio real da raiz), temos
Sempre que
pois
quando
. Dividindo por
,
E
Logo, pelo Confronto,
Resposta
a) Versão para
e para
conforme enunciado no Passo 2.
b) A pesquisa confirma que o enunciado está correto; só há de explicitar a existência de um (ou
) para garantir as desigualdades.
c) e
.
b) A pesquisa confirma que o enunciado está correto; só há de explicitar a existência de um
c)