Responda os itens a seguir:
a) Enuncie, sem pesquisar, somente pensando, uma versão do Teorema do Confronto para limites da forma \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L \in \mathbb{R} e da forma \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)= L \in \mathbb{R}.
b) Faça uma pesquisa para se certificar se o que você enunciou no item anterior é correto ou se precisa de ajustes.
c) Calcule \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (x)}{x} e \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1+x \cos (x)}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. enunciar, “de cabeça”, o Teorema do Confronto para limites quando x\to\infty e quando x\to-\infty;
  2. pesquisar em bibliografia se o que enunciamos está correto ou precisa de ajuste;
  3. calcular \lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x} e \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x\cos(x)}}{x}.
    Para isso vamos usar o conceito de funções comparáveis por meio de desigualdades e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Enunciado “de cabeça” do Teorema do Confronto:
Para x\to\infty: se existem funções f,g,h:\mathbb R\to\mathbb R e uma constante M tais que, para todo x>M,
f(x)\le g(x)\le h(x),
e ainda
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=L\in\mathbb R,
então
\lim_{x\to\infty}g(x)=L.
Para x\to-\infty: se existem funções f,g,h:\mathbb R\to\mathbb R e uma constante N tais que, para todo x<N,
f(x)\le g(x)\le h(x),
e ainda
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}h(x)=L\in\mathbb R,
então
\lim_{x\to-\infty}g(x)=L.

Passo 3

Ao pesquisar em livros de Análise (por exemplo Apostol ou Ross), verificamos que o enunciado está correto. A única observação é explicitar que “existe M” (ou “existe N”) tal que as desigualdades valem para todos os x suficientemente grandes (ou suficientemente pequenos). Não há outro ajuste importante.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}:
Como -1\le\sin(x)\le1 para todo x, temos
-\frac1{x}\;\le\;\frac{\sin(x)}{x}\;\le\;\frac1{x}.
Mas
\lim_{x\to\infty}\bigl(-\tfrac1{x}\bigr) =\lim_{x\to\infty}\tfrac1{x}=0.
Pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x\cos(x)}}{x}:
Sempre que 1+x\cos(x)\ge0 (isso define o domínio real da raiz), temos
0\;\le\;\sqrt{1+x\cos(x)} \;\le\;\sqrt{1+x},
pois x\cos(x)\le x quando x>0. Dividindo por x>0,
0\;\le\;\frac{\sqrt{1+x\cos(x)}}{x} \;\le\;\frac{\sqrt{1+x}}{x} =\sqrt{\frac1{x}+\frac1{x^2}}.
E
\lim_{x\to\infty}\sqrt{\tfrac1{x}+\tfrac1{x^2}}=0.
Logo, pelo Confronto,
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x\cos(x)}}{x}=0.

Resposta

a) Versão para x\to\infty e para x\to-\infty conforme enunciado no Passo 2.
b) A pesquisa confirma que o enunciado está correto; só há de explicitar a existência de um M (ou N) para garantir as desigualdades.
c) \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0 e \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x\cos(x)}}{x}=0.

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