Responda de maneira sucinta, justificando suas escolhas.
( 0,75 pontos) Entre as modulações DSB-SC e SSB, considerando que ambas possuam a mesma S N R_{\text {pre }}, qual delas terá maior S N R_{\text {pos }} ? Demonstre.

Passo 1

O enunciado pergunta, de forma direta: entre as modulações DSB‑SC e SSB, assumindo que ambas tenham a mesma \mathrm{SNR}_{\text{pre}} (isto é, mesma relação sinal/ruído na entrada do detector), qual delas terá maior \mathrm{SNR}_{\text{pos}} (após a detecção)? As informações relevantes são: presença de ruído branco de densidade espectral N_0/2, largura de banda de mensagem W, e que devemos comparar a razão sinal/ruído depois da demodulação (pos).

Passo 2

Vamos fixar um modelo simples e padrão (comum em provas) para comparar de forma limpa: mensagem m(t) com potência média P_m e largura de banda W; ruído branco com PSD N_0/2. "Mesma \mathrm{SNR}_{\text{pre}}" vamos entender como mesma condição de recepção do sinal (mesma amplitude efetiva do sinal recebido em relação ao ruído no canal) antes da demodulação. Iremos calcular a potência do sinal recuperado após demodulação e a potência do ruído na saída do filtro baseband para cada esquema e comparar as \mathrm{SNR}_{\text{pos}}.

Passo 3

Resultado útil sobre demodulação coerente (lembrete didático): ao multiplicar um DSB‑SC s_{\text{DSB}}(t)=A\,m(t)\cos\omega_ct por \cos\omega_c t e passar por um LPF de largura W obtém‑se, após filtragem, o termo de interesse (A/2)m(t). Assim o sinal recuperado tem potência
P_{\text{sig,out}}^{\text{DSB}}=\left(\frac{A}{2}\right)^{2}P_{m}=\frac{A^{2}}{4}P_{m}.
Explicação curta do fator 1/2: \cos^2 tem valor médio 1/2, e a multiplicação pelo coseno desloca duas cópias em \pm 2\omega_c (filtradas), sobrando o fator 1/2 no termo baseband.

Passo 4

Ruído na saída para DSB‑SC: o sinal DSB ocupa as duas faixas de largura W (upper e lower sideband). O ruído na faixa de banda total 2W tem potência
P_{\text{noise,band}}^{\text{DSB}}=\left(\frac{N_0}{2}\right)\cdot(2W)=N_0W.
Na demodulação coerente as duas bandas (ruído das duas sidebands) se “dobram” para o baseband e contribuem para o ruído de saída; portanto a potência de ruído na saída (após o LPF de largura W) é proporcional a N_0W. Logo
\mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{DSB}}=\frac{P_{\text{sig,out}}^{\text{DSB}}}{P_{\text{noise,out}}^{\text{DSB}}} =\frac{\dfrac{A^{2}}{4}P_{m}}{N_0W}.

Passo 5

Para SSB: só existe uma sideband (largura W). Ao demodular coerentemente essa sideband e passar pelo mesmo LPF de largura W, o termo útil recuperado tem a mesma forma proporcional a m(t) com ganho de demodulação (assumimos o mesmo fator de escala útil para comparação), de modo que a potência do sinal recuperado comparable é também
P_{\text{sig,out}}^{\text{SSB}}=\frac{A^{2}}{4}P_{m}
(interpretamos aqui A como a amplitude de modulação recebida correspondente ao sinal efetivo; o ponto-chave é que o termo útil recuperado tem a mesma relação de escala com P_m quando comparável).

Passo 6

Ruído na saída para SSB: como há apenas uma sideband ocupada, o ruído na banda relevante de largura W é
P_{\text{noise,out}}^{\text{SSB}}=\left(\frac{N_0}{2}\right)\cdot W=\frac{N_0W}{2}.
Portanto
\mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{SSB}}=\frac{P_{\text{sig,out}}^{\text{SSB}}}{P_{\text{noise,out}}^{\text{SSB}}} =\frac{\dfrac{A^{2}}{4}P_{m}}{\,\dfrac{N_0W}{2}\,} =2\cdot\frac{\dfrac{A^{2}}{4}P_{m}}{N_0W}.

Passo 7

Comparando as duas expressões finais:
\mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{SSB}}=2\;\mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{DSB}}.
Ou em decibéis:
10\log_{10}\!\left(\frac{\mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{SSB}}}{\mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{DSB}}}\right)=10\log_{10}(2)\approx 3\\ \text{dB}.
Interpretação didática rápida: SSB ocupa metade da largura de banda dos DSB‑SC; com a mesma densidade espectral de ruído, SSB sofre metade da potência de ruído na banda útil, enquanto o sinal recuperado tem a mesma potência útil — por isso SSB alcança o dobro da \mathrm{SNR}_{\text{pos}}.

Resposta

SSB terá maior \mathrm{SNR}_{\text{pos}}; especificamente \mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{SSB}}=2\;\mathrm{SNR}_{\text{pos}}^{\text{DSB}} (vantagem de 3\\ \text{dB}).

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