(1,0 pontos) Em um projeto de sistema de transmissão DSB + C , deseja-se obter uma S N R_{\text {pos }} de 10 d B. Foram utilizados na implementação um índice de modulação de \mu=0,3, o sinal da informação tem a sua potência do sinal normalizada para 1 mW e a largura de banda restrita em 10 kHz , e o ruído aditivo possui PSD igual à 10^{-10} W / H z. Determine o valor da S N R_{\text {pre }} e qual deve ser a potência da portadora, a fim de atingir a S N R_{\text {pos }} desejada?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar o valor de SNR_{\text{pre}} necessário e (ii) determinar a potência da portadora P_c que deve ser usada para obter a SNR_{\text{pos}} desejada. Os dados fornecidos são:
\n
\mu=0{,}3 (índice de modulação),
\n
potência do sinal de informação (mensagem) P_m=1\\ \text{mW}=1\times10^{-3}\\ \text{W},
\n
largura de banda B=10\\ \text{kHz}=10^{4}\\ \text{Hz},
\n
densidade espectral de potência do ruído S_n=10^{-10}\\ \text{W/Hz},
\n
e SNR_{\text{pos}} desejada =10\\ \text{dB}.
\n
Não vou resolver nada ainda aqui; só organizei o que é pedido e quais são os dados.

Passo 2

Vamos entender o que significa cada grandeza e como elas se relacionam (a parte “teórica-mão na massa” que você pode usar na prova).
\n
  • A modulação AM (DSB+C) transmite uma portadora de amplitude A_c e adiciona a terminação modulada \mu m(t). A potência da portadora é definida por
P_c=\frac{A_c^2}{2}.
\n
  • A potência média do sinal de informação é P_m=E[m^2(t)]. No enunciado P_m foi normalizada para 1\\ \text{mW}.
    \n
  • A densidade espectral de potência do ruído S_n (em \text{W/Hz}) multiplicada pela banda B dá a potência de ruído na banda:
P_{\text{ruído, banda}} = S_n\cdot B.í
\n
  • Definição prática: SNR_{\text{pre}} é a relação sinal/ruído antes da detecção (aqui usamos a relação entre potência da portadora e a potência de ruído na banda), tipicamente
SNR_{\text{pre}}=\frac{P_c}{S_n\cdot B}.

Passo 3

Agora vamos ver como a SNR_{\text{pos}} (pós-detecção, assumindo detecção síncrona/coerente) se relaciona com P_c, \mu e S_n.
\n
  • Após detecção síncrona, o componente útil no sinal recuperado (a parte proporcional a m(t)) tem potência média igual a
P_{\text{out, sinal}}=\frac{\mu^2\,P_c\,P_m}{2}.
Explicando devagar: a multiplicação pelo portador e o fator \mu reduzem a amplitude efetiva do termo útil; ao calcular a potência média do produto obtemos esse fator 1/2 (da média de \cos^2).
\n
  • O ruído, ao ser multiplicado pelo oscilador local (coseno) e passar pelo filtro passe-baixa, tem sua potência reduzida pela metade (metade vai para banda de imagem e é eliminada pelo LPF). Assim a potência do ruído na saída é
P_{\text{out, ruído}}=\frac{S_n\cdot B}{2}.í
\n
  • Portanto a SNR_{\text{pos}} (relação sinal/ruído após detecção) é
SNR_{\text{pos}}=\frac{P_{\text{out, sinal}}}{P_{\text{out, ruído}}} =\frac{\dfrac{\mu^2\,P_c\,P_m}{2}}{\dfrac{S_n\cdot B}{2}} =\frac{\mu^2\,P_c\,P_m}{S_n\cdot B}.í
\n
  • Reorganizando em termos de SNR_{\text{pre}}=\dfrac{P_c}{S_n\cdot B}, obtemos a relação simples
SNR_{\text{pos}}=\mu^2\,P_m\;SNR_{\text{pre}}.
Essa fórmula é muito prática na prova: ela mostra que a SNR após detecção é a SNR pré-detecção multiplicada por \mu^2 P_m.

Passo 4

Usamos agora a fórmula obtida para calcular SNR_{\text{pre}} exigido a partir da SNR_{\text{pos}} desejada. Reescrevendo:
SNR_{\text{pre}}=\frac{SNR_{\text{pos}}}{\mu^2\,P_m}.
\n
  • Primeiro convertemos SNR_{\text{pos}} de decibéis para linear: 10\\ \text{dB} \Rightarrow SNR_{\text{pos,lin}}=10^{10/10}=10.
    \n
  • Calculamos \mu^2\,P_m:
\mu^2=(0{,}3)^2=0{,}09,\qquad P_m=1\times10^{-3}\\ \text{W},
\mu^2\,P_m=0{,}09\times 10^{-3}=9\times10^{-5}.
\n
  • Agora
SNR_{\text{pre}}=\frac{10}{9\times10^{-5}}=1{,}11111\times10^{5}\\ (\text{linear}).
\n
  • Em dB:
SNR_{\text{pre,dB}}=10\log_{10}\!\bigl(1{,}11111\times10^{5}\bigr)\approx 50{,}46\\ \text{dB}.

Passo 5

Agora encontramos a potência da portadora P_c necessária. Usamos
SNR_{\text{pre}}=\frac{P_c}{S_n\cdot B}\quad\Rightarrow\quad P_c = SNR_{\text{pre}}\cdot S_n\cdot B.
\n
  • Calculamos a potência de ruído na banda:
S_n\cdot B = 10^{-10}\\ \text{W/Hz}\times 10^{4}\\ \text{Hz} = 10^{-6}\\ \text{W} = 1\\ \mu\text{W}.
\n
  • Portanto
P_c = 1{,}11111\times10^{5}\times 10^{-6}\\ \text{W} = 0{,}111111\\ \text{W}\approx 0{,}1111\\ \text{W}.
\n
  • Em unidades mais usuais:
P_c\approx 111{,}11\\ \text{mW}.
(Se quiser em dBm: P_c em dBm =10\log_{10}(111{,}11)\approx 20{,}46\\ \text{dBm}.)

Resposta

SNR_{\text{pre}}=1{,}11111\times10^{5} (linear) =\;50{,}46\\ \text{dB}.\n
P_c=0{,}111111\\ \text{W}\approx 111{,}11\\ \text{mW}

Exercícios relacionados