Considere o seguinte sistema de equações diferenciais abaixo, que representa o modelo das interações entre predador e presa em um determinado ecossistema:
onde
e
representam, respectivamente, a população de predadores e a população de presas, com
e
. Os parâmetros podem ser tomados como
. Para este sistema, pede-se:
a) Determine as soluções estacionárias deste modelo e a sua estabilidade.
b) Encontre o tamanho máximo do passo para o método de Euler explícito, de modo que a solução seja estável e não-oscilatória.
c) Determine a equação de iteração do método de Euler implícito.
a) Determine as soluções estacionárias deste modelo e a sua estabilidade.
b) Encontre o tamanho máximo do passo para o método de Euler explícito, de modo que a solução seja estável e não-oscilatória.
c) Determine a equação de iteração do método de Euler implícito.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema
com condições iniciais
e parâmetros
. As perguntas são:
a) Determinar as soluções estacionárias (pontos de equilíbrio) e a estabilidade de cada uma.
b) Encontrar o tamanho máximo do passo para o método de Euler explícito, de modo que a solução seja estável e não-oscillatória (interprete que a análise se faz pela linearização e critério de estabilidade do método sobre autovalores reais).
c) Determinar a equação de iteração do método de Euler implícito (Backward Euler) aplicada ao sistema.
a) Determinar as soluções estacionárias (pontos de equilíbrio) e a estabilidade de cada uma.
b) Encontrar o tamanho máximo do passo para o método de Euler explícito, de modo que a solução seja estável e não-oscillatória (interprete que a análise se faz pela linearização e critério de estabilidade do método sobre autovalores reais).
c) Determinar a equação de iteração do método de Euler implícito (Backward Euler) aplicada ao sistema.
As informações relevantes dadas: as expressões do lado direito do sistema (com
) e as condições iniciais (que servem só como exemplo numérico, não são necessárias para a análise dos equilíbrios e das fórmulas do método numérico).]
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio: são os pontos
tais que os termos à direita zero. Com
o sistema fica
Para equilíbrio precisamos de
e
. As possibilidades são
ou
da primeira equação, e
ou
da segunda. Combinando temos quatro pontos candidatos:
Esses são todos os pontos estacionários.]
Passo 3
Para estudar estabilidade linearizamos o sistema em torno de um ponto de equilíbrio usando a matriz Jacobiana. Escrevendo
e
, os parciais são:
Logo a Jacobiana é
A estabilidade linear de um equilíbrio é dada pelos autovalores de
nesse ponto: autovalores com parte real negativa → assintoticamente estável (linearmente); parte real positiva → instável; autovalores puramente imaginários ou zeros → caso não hiperbólico (necessita análise não linear).]
Passo 4
Avaliar
em cada equilíbrio e calcular autovalores.
No ponto
:
Os autovalores são
e
. Há um autovalor positivo e um negativo, portanto
é uma sela (saddle) e é instável (trajetórias são atraídas numa direção e repelidas em outra).]
Passo 5
No ponto
:
Característica: determinante
. Os autovalores obtêm-se resolvendo
, isto dá
, então
e
. Como existe um autovalor positivo
, o ponto
é instável (não é um nó estável); o autovalor zero indica não-hiperbolicidade numa direção.]
Passo 6
No ponto
:
Os autovalores satisfazem
, logo
e
. Há um autovalor negativo e um nulo; isso significa que linearmente o ponto tem uma direção estável (autovalor
) e uma direção neutra (autovalor
). Portanto
é não-hiperbólico: não é assintoticamente estável no sentido linearmente uniforme (a presença de
impede concluir estabilidade assintótica pelo linearizado), mas tem estabilidade em uma direção e neutralidade em outra.]
Passo 7
No ponto
:
A matriz é a de uma rotação; os autovalores são as raízes de
, ou seja
(puro imaginário). Logo a linearização indica um centro (autovalores puramente imaginários). Isso é não-dissipativo linearmente: não há amortecimento nem crescimento exponencial linear; precisamos verificar a natureza não linear para concluir estabilidade mais precisa.]
Passo 8
Explicação não-linear para
: procurar uma quantidade conservada (integral primeira) que prove que as órbitas são fechadas ao redor de
. Vamos construir
tal que
ao longo das soluções. Tentar a forma
Calculamos a derivada ao longo das soluções:
Substituindo
e
e simplificando (é um cálculo direto, feito termo a termo), obtém-se
. Logo
é conservada e as curvas de nível de
são trajetórias do sistema. Em particular sistemas com uma integral primeira desse tipo têm órbitas fechadas em volta do ponto crítico central. Portanto
é um centro não linear: estável no sentido de Lyapunov (soluções próximas permanecem próximas) mas não assintoticamente estável — as soluções próximas são periódicas (órbitas fechadas) e não convergem para
.
Passo 9
Resumo das classificações (conclusão da parte a), com linguagem direta):
- Ponto de equilíbrio
: autovalores . Tipo: sela (saddle). Instável. - Ponto de equilíbrio
: autovalores . Instável (existe uma direção de crescimento). - Ponto de equilíbrio
: autovalores . Não-hiperbólico; possui uma direção estável e uma neutra (não assintoticamente estável pelo linearizado). - Ponto de equilíbrio
: autovalores . Centro não linear com integral primeira : órbitas fechadas em torno de . Estável no sentido de Lyapunov, não assintoticamente estável.
Passo 10
Passando para a parte b) (critérios de estabilidade do método de Euler explícito). Vamos lembrar um resultado básico e muito usado em provas: ao aplicar o método de Euler explícito a uma equação linear escalar teste
, o fator de amplificação por passo
é
ou seja
. Para que a discretização seja estável e não-oscillatória numa componente associada a um autovalor real
devemos ter
real e
. (Explicação:
com módulo menor que 1 dá decaimento;
evita alternância de sinal — ou seja oscilações de sinal a cada passo.)
Passo 11
Aplicar esse critério aos autovalores reais do Jacobiano do sistema. Os autovalores reais que aparecem nos equilíbrios são
(ver passos anteriores). Para cada
a condição
traduz-se em:
- se
: . - se
: (marginalmente neutro; Euler preserva exatamente esse modo sem decaimento). - se
: impossível para . Ou seja, uma componente com não pode ser tornada estável pelo Euler explícito (o fator cresce qualquer ).
Passo 12
Interpretação final para a pergunta b): como o sistema possui um autovalor positivo
em alguns pontos (por exemplo em
e
), não existe passo
que torne globalmente estável o método explícito em torno desses equilíbrios instáveis (não se pode numericamente estabilizar um modo que é linearmente instável). Contudo, se a intenção é garantir que as componentes correspondentes a autovalores negativos não oscillatem (por exemplo a direção com
em
), a condição fornece:
Ou seja, para a componente com
devemos escolher
para ter fator de amplificação no intervalo
(não-oscilatório e não-expansivo). Se se exige estrita estabilidade (decrescimento estrito) então
. Em resumo: o maior passo que ainda dá fator não-negativo e não-expansivo para o autovalor
é
; mas ressalto que a presença do modo
impede estabilidade global por Euler explícito.
Passo 13
Agora a parte c): escrever a equação de iteração do método de Euler implícito (Backward Euler). A regra geral do método implícito aplicada a um sistema
é
Aplicando ao nosso sistema (com
) obtemos, escrevendo índices
e
:
Passo 14
Manipular essas equações para expor as formas de solução implícita (isolando
e
em termos um do outro). Desenvolvendo os termos que envolvem
:
Agrupando
em cada equação:
Portanto as fórmulas implícitas equivalentes são
que constituem um sistema acoplado de equações não-lineares para
. Na prática resolve-se esse sistema por iteração (por exemplo método de Newton ou ponto fixo alternado) a cada passo.]
Resposta
Equações de iteração do Euler implícito: