Responda o que se pede em cada item:
Encontre todas as soluções da equação x^{3}=x no anel ( Z_{6},+, \cdot )

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação \,x^{3}=x\, no anel (\mathbb{Z}_{6},+,\cdot).
Informações dadas e condições:
\mathbb{Z}_{6} tem os elementos \{\,0,1,2,3,4,5\,\} e as operações são feitas módulo 6. Precisamos achar todos os x\in\mathbb{Z}_{6} tais que \,x^{3}=x no sentido de congruência módulo 6.

Passo 2

Fatoramos a expressão para compreender melhor a equação. Em qualquer anel vale a identidade polinomial
x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1).
Explicando essa fatoração devagar: multiplicamos x por x^{2}-1 e, em seguida, lembramos que x^{2}-1 é uma diferença de quadrados que se fatoriza em (x-1)(x+1). Cada símbolo representa:
  • x é o elemento incógnita em \mathbb{Z}_{6},
  • x-1 e x+1 são os vizinhos de x em relação à adição em \mathbb{Z}_{6}.
Observação importante (didática): em um anel que NÃO é domínio de integridade (como \mathbb{Z}_{6}), o fato de um produto ser zero não implica que algum fator seja zero. Portanto, embora a fatoração seja útil, não podemos só “pegar” os fatores e dizer imediatamente que x=0, x=1 ou x=-1 são as únicas soluções. Precisamos de outra estratégia para achar todos os x que satisfazem a equação.

Passo 3

Usamos o Teorema Chinês dos Resíduos (CRT) para simplificar o problema. Como 6=2\cdot 3 e \gcd(2,3)=1, há um isomorfismo de anéis
\mathbb{Z}_{6}\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3},
o que significa que a congruência \,x^{3}\equiv x\pmod{6}\, é equivalente ao sistema
x^{3}\equiv x\pmod{2}\quad\text{e}\quad x^{3}\equiv x\pmod{3}.
Didaticamente: isto permite resolver a equação separadamente em \mathbb{Z}_{2} e em \mathbb{Z}_{3} (anéis muito menores e fáceis), e depois combinar as soluções via CRT.

Passo 4

Resolver em \mathbb{Z}_{2}. Os elementos são \{0,1\}.
  • Para x=0: 0^{3}=0, logo 0 satisfaz.
  • Para x=1: 1^{3}=1, logo 1 satisfaz.
Explicação alternativa curta: em \mathbb{Z}_{2} (um corpo), da fatoração x(x-1)(x+1)=0 segue que as raízes são x=0,1,-1, mas -1\equiv 1\pmod{2}, então as soluções são \{0,1\}.

Passo 5

Resolver em \mathbb{Z}_{3}. Os elementos são \{0,1,2\}.
  • Para x=0: 0^{3}=0, satisfaz.
  • Para x=1: 1^{3}=1, satisfaz.
  • Para x=2: 2^{3}=8 e 8\equiv 2\pmod{3}, então 2 satisfaz.
Explicação alternativa: em \mathbb{Z}_{3} (um corpo), as raízes da fatoração são 0,1,-1, e -1\equiv 2\pmod{3}, então as soluções são \{0,1,2\} — ou seja, todos os elementos de \mathbb{Z}_{3}.

Passo 6

Combinação via CRT. Cada elemento de \mathbb{Z}_{6} corresponde a um par (a\bmod 2,\;b\bmod 3). As soluções em \mathbb{Z}_{2} são \{0,1\} e em \mathbb{Z}_{3} são \{0,1,2\}. Portanto há 2\cdot 3=6 pares possíveis, ou seja, teoricamente todos os seis resíduos mod 6 aparecem como combinações de soluções nos módulos menores. Concluímos que todos os resíduos mod 6 resolvem a equação.

Passo 7

Verificação direta (para ficar mais seguro e também para praticar cálculo sem depender só do CRT): calcule x^{3}-x para cada x\in\{0,1,2,3,4,5\} e veja se é múltiplo de 6.
  • x=0:\;0^{3}-0=0.
  • x=1:\;1^{3}-1=0.
  • x=2:\;2^{3}-2=8-2=6\equiv 0\pmod{6}.
  • x=3:\;3^{3}-3=27-3=24\equiv 0\pmod{6}.
  • x=4:\;4^{3}-4=64-4=60\equiv 0\pmod{6}.
  • x=5:\;5^{3}-5=125-5=120\equiv 0\pmod{6}.
Portanto cada um dos seis elementos satisfaz \,x^{3}\equiv x\pmod{6}.

Resposta

\{0,1,2,3,4,5\}

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