Responda o que se pede em cada item:
Encontre todas as soluções da equação
no anel (
)
Encontre todas as soluções da equação
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação
no anel
.
Informações dadas e condições:
tem os elementos
e as operações são feitas módulo
. Precisamos achar todos os
tais que
no sentido de congruência módulo
.
Passo 2
Fatoramos a expressão para compreender melhor a equação. Em qualquer anel vale a identidade polinomial
Explicando essa fatoração devagar: multiplicamos
por
e, em seguida, lembramos que
é uma diferença de quadrados que se fatoriza em
. Cada símbolo representa:
-
é o elemento incógnita em , -
e são os vizinhos de em relação à adição em .
Observação importante (didática): em um anel que NÃO é domínio de integridade (como
), o fato de um produto ser zero não implica que algum fator seja zero. Portanto, embora a fatoração seja útil, não podemos só “pegar” os fatores e dizer imediatamente que
,
ou
são as únicas soluções. Precisamos de outra estratégia para achar todos os
que satisfazem a equação.
Passo 3
Usamos o Teorema Chinês dos Resíduos (CRT) para simplificar o problema. Como
e
, há um isomorfismo de anéis
o que significa que a congruência
é equivalente ao sistema
Didaticamente: isto permite resolver a equação separadamente em
e em
(anéis muito menores e fáceis), e depois combinar as soluções via CRT.
Passo 4
Resolver em
. Os elementos são
.
- Para
: , logo satisfaz. - Para
: , logo satisfaz.
Explicação alternativa curta: em
(um corpo), da fatoração
segue que as raízes são
, mas
, então as soluções são
.
Passo 5
Resolver em
. Os elementos são
.
- Para
: , satisfaz. - Para
: , satisfaz. - Para
: e , então satisfaz.
Explicação alternativa: em
(um corpo), as raízes da fatoração são
, e
, então as soluções são
— ou seja, todos os elementos de
.
Passo 6
Combinação via CRT. Cada elemento de
corresponde a um par
. As soluções em
são
e em
são
. Portanto há
pares possíveis, ou seja, teoricamente todos os seis resíduos mod
aparecem como combinações de soluções nos módulos menores. Concluímos que todos os resíduos mod
resolvem a equação.
Passo 7
Verificação direta (para ficar mais seguro e também para praticar cálculo sem depender só do CRT): calcule
para cada
e veja se é múltiplo de
.
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Portanto cada um dos seis elementos satisfaz
.