Responda o que se pede em cada item:
Considere o anel ( Z_{5},+, \cdot ). Encontre todos os \bar{x} \in Z_{5} tais que \bar{x} \cdot \bar{x}=\overline{4}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os elementos \bar{x} do anel \mathbb{Z}_{5} tais que \bar{x}\cdot\bar{x}=\overline{4}. Informações relevantes dadas pelo enunciado: os elementos de \mathbb{Z}_{5} são as classes \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4} e as operações são feitas módulo 5. A incógnita é um desses cinco elementos; queremos os que satisfazem a igualdade \bar{x}^{2}=\overline{4}.

Passo 2

Explicação rápida do que significa \bar{a} e multiplicar em \mathbb{Z}_{5}: \bar{a} é a classe de equivalência do inteiro a módulo 5. A multiplicação \bar{a}\cdot\bar{b} é simplesmente \overline{a\cdot b}, ou seja, multiplicamos a por b em \mathbb{Z} e reduzimos o resultado módulo 5. Exemplo: \overline{3}\cdot\overline{4}=\overline{12}=\overline{2} porque 12\equiv2\pmod{5}.
Estratégia prática: calcular o quadrado de cada elemento de \mathbb{Z}_{5} e ver quais dão \overline{4}. Observação útil que diminui trabalho: para qualquer a, tem-se \overline{a}^{2}=\overline{(-a)}^{2} porque a^{2}=(-a)^{2}. Em \mathbb{Z}_{5} isso significa que basta verificar \overline{0},\overline{1},\overline{2} (pois \overline{3}=-\overline{2} e \overline{4}=-\overline{1}).

Passo 3

Calculemos os quadrados explicitamente:
\overline{0}^{2}=\overline{0\cdot0}=\overline{0}.
\overline{1}^{2}=\overline{1\cdot1}=\overline{1}.
\overline{2}^{2}=\overline{2\cdot2}=\overline{4}.
Agora pelos pares simétricos:
\overline{3}^{2}=\overline{9}=\overline{9-5}=\overline{4}.
\overline{4}^{2}=\overline{16}=\overline{16-15}=\overline{1}.

Passo 4

Conclusão a partir dos cálculos: os elementos cuja classe ao quadrado é \overline{4} são \overline{2} e \overline{3}. Comentário didático: isso também podia ser visto pela observação de simetria ( \overline{2} e \overline{3}=-\overline{2} têm o mesmo quadrado) e pelo fato de que em um corpo finito como \mathbb{Z}_{5} uma equação quadrática \bar{x}^{2}=\bar{a} tem no máximo duas soluções.

Resposta

\overline{2}, \overline{3}

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