Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para
.
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e também encontrar uma fórmula fechada para a soma parcial
. O conteúdo principal envolvido é decomposição em frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Vamos decompor
Multiplicando em comum denominador,
Igualando coeficientes de
Resolvendo, obtém-se
. Logo
Passo 3
Escrevendo a soma parcial,
É uma soma telescópica: ao expandir os primeiros termos, percebe-se que tudo cancela, restando apenas
Passo 4
Para verificar a convergência, calculamos
que é finito. Portanto a série é convergente e soma para
.
Resposta
A série é convergente e