Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para s_{n}.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{5}{(3 n+1)(3 n-2)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(3n+1)(3n-2)}
e também encontrar uma fórmula fechada para a soma parcial s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}. O conteúdo principal envolvido é decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Vamos decompor
\frac{5}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}.
Multiplicando em comum denominador,
5 = A(3n+1) + B(3n-2).
Igualando coeficientes de n\) e termos constantes, temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\\ A - 2B = 5. \end{cases}
Resolvendo, obtém-se A=5/3\] e \(B=-5/3. Logo
\frac{5}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{5/3}{3n-2} - \frac{5/3}{3n+1} = \frac{5}{3}\Bigl(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\Bigr).

Passo 3

Escrevendo a soma parcial,
s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{5}{3}\Bigl(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\Bigr).
É uma soma telescópica: ao expandir os primeiros termos, percebe-se que tudo cancela, restando apenas
s_{n} = \frac{5}{3}\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{3n+1}\Bigr) = \frac{5}{3}\,\frac{3n}{3n+1} = \frac{5n}{3n+1}.

Passo 4

Para verificar a convergência, calculamos
\lim_{n\to\infty}s_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{5n}{3n+1} = \frac{5}{3},
que é finito. Portanto a série é convergente e soma para \tfrac{5}{3}.

Resposta

A série é convergente e
s_{n}=\frac{5n}{3n+1}.

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