Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba geradores
; com
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
de
é um subespaço vetorial. Foi dado:
-
é o conjunto das matrizes com entradas reais tais que a entrada superior direita é igual à entrada inferior esquerda. - Em fórmulas, um elemento genérico de
tem a forma
O que o enunciado pede:
- Responder se
é subespaço de . - Se for subespaço, exibir geradores (um conjunto que gera
; idealmente uma base).
Passo 2
Escrever um elemento genérico de
de forma mais explícita: como a condição é
, todo
pode ser escrito como
onde
. Isto simplifica a análise: agora só há três parâmetros livres
.
Passo 3
Relembrando o que é preciso verificar para que um subconjunto seja subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Vou checar cada propriedade de forma direta e clara.
Passo 4
Verificação do vetor zero: o zero em
é
Escolhendo
,
,
obtemos
, pois a condição
fica satisfeita (ambos zero). Logo o zero está em
.
Passo 5
Fechamento por soma: tomemos duas matrizes quaisquer de
,
com
. A soma é
No resultado a entrada superior direita é
e a inferior esquerda também é
; portanto a condição
permanece satisfeita. Assim
. Conclusão:
é fechado sob soma.
Passo 6
Fechamento por multiplicação escalar: seja
e
Então
Novamente a entrada superior direita e a inferior esquerda são iguais (
), logo
. Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 7
Como
,
é fechado sob soma e por escalares, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 8
Agora vou exibir geradores (um conjunto que gera todo
). Use a descrição paramétrica
. Posso separar os parâmetros em combinações lineares:
Logo os três matrizes abaixo geram
:
Qualquer
é combinação linear
.]
Passo 9
Verificar que esses geradores são linearmente independentes (assim formam uma base): suponha que existam
tais que
Escrevendo componentes,
Igualando entradas obtemos
,
,
. Portanto são linearmente independentes. Logo
é uma base de
.]
Passo 10
Resultado adicional útil: como há três vetores em uma base, a dimensão de
é
.
Resposta
Sim. Um conjunto de geradores (base) é
Dimensão de
:
.]