Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores
V=\left\{\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]; com \left.a, b, c, d \in R, b=c\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto V de M(2,2) é um subespaço vetorial. Foi dado:
  • V é o conjunto das matrizes 2\times2 com entradas reais tais que a entrada superior direita é igual à entrada inferior esquerda.
  • Em fórmulas, um elemento genérico de V tem a forma
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} \quad\text{com}\quad a,b,c,d\in\mathbb{R}\quad\text{e}\quad b=c.
O que o enunciado pede:
  • Responder se V é subespaço de M(2,2).
  • Se for subespaço, exibir geradores (um conjunto que gera V; idealmente uma base).

Passo 2

Escrever um elemento genérico de V de forma mais explícita: como a condição é b=c, todo X\in V pode ser escrito como
X=\begin{pmatrix} a & b \\\ b & d \end{pmatrix},
onde a,b,d\in\mathbb{R}. Isto simplifica a análise: agora só há três parâmetros livres (a,b,d).

Passo 3

Relembrando o que é preciso verificar para que um subconjunto seja subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar. Vou checar cada propriedade de forma direta e clara.

Passo 4

Verificação do vetor zero: o zero em M(2,2) é
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Escolhendo a=0, b=0, d=0 obtemos 0\in V, pois a condição b=c fica satisfeita (ambos zero). Logo o zero está em V.

Passo 5

Fechamento por soma: tomemos duas matrizes quaisquer de V,
X_1=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\\ b_1 & d_1 \end{pmatrix}, \qquad X_2=\begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\\ b_2 & d_2 \end{pmatrix},
com a_i,b_i,d_i\in\mathbb{R}. A soma é
X_1+X_2=\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ b_1+b_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix}.
No resultado a entrada superior direita é b_1+b_2 e a inferior esquerda também é b_1+b_2; portanto a condição b=c permanece satisfeita. Assim X_1+X_2\in V. Conclusão: V é fechado sob soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix} a & b \\\ b & d \end{pmatrix}\in V.
Então
\lambda X=\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\\ \lambda b & \lambda d \end{pmatrix}.
Novamente a entrada superior direita e a inferior esquerda são iguais ( \lambda b), logo \lambda X\in V. Conclusão: V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 7

Como 0\in V, V é fechado sob soma e por escalares, concluímos que V é um subespaço vetorial de M(2,2).

Passo 8

Agora vou exibir geradores (um conjunto que gera todo V). Use a descrição paramétrica X=\begin{pmatrix} a & b \\\ b & d \end{pmatrix}. Posso separar os parâmetros em combinações lineares:
\begin{pmatrix} a & b \\\ b & d \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Logo os três matrizes abaixo geram V:
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Qualquer X\in V é combinação linear X=aE_1+bE_2+dE_3.]

Passo 9

Verificar que esses geradores são linearmente independentes (assim formam uma base): suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha E_1+\beta E_2+\gamma E_3 =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo componentes,
\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\[4pt] \beta & \gamma \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando entradas obtemos \alpha=0, \beta=0, \gamma=0. Portanto são linearmente independentes. Logo \{E_1,E_2,E_3\} é uma base de V.]

Passo 10

Resultado adicional útil: como há três vetores em uma base, a dimensão de V é 3.

Resposta

Sim. Um conjunto de geradores (base) é
\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão de V: 3.]

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