Sejam X \subset \mathbb{R} um conjunto não vazio e f: X \rightarrow X uma função tal que f(f(x))= x, \forall x \in X. Mostre que f é bijetiva.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • O enunciado dá um conjunto não vazio X \subset \mathbb{R}.
  • Dá uma função f: X \to X tal que
f(f(x)) = x,\quad \forall x \in X.
  • O que precisamos mostrar: f é bijetiva (ou seja, injetiva e sobrejetiva).

Passo 2

Definições importantes (para não ficar confuso):
  • Dizemos que f é injetiva se, sempre que f(a)=f(b) com a,b\in X, então a=b.
  • Dizemos que f é sobrejetiva se, para todo y\in X, existe x\in X tal que f(x)=y.
  • Dizemos que f é bijetiva se ela for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Vou provar primeiro a injetividade, depois a sobrejetividade.

Passo 3

Prova de que f é injetiva.
  • Começo assumindo que a,b\in X e que
f(a) = f(b).
  • Como f mapeia X em X, posso aplicar f aos dois lados da igualdade. Aplicando f em f(a) e em f(b) obtenho:
f(f(a)) = f(f(b)).
  • Pela hipótese do enunciado, f(f(x))=x para todo x. Então substituo:
a = b.
  • Concluo que, sempre que f(a)=f(b), temos a=b. Isso é exatamente a definição de injetividade. Logo f é injetiva.
Comentário didático curto: a ideia foi usar a condição f(f(x))=x como uma “volta” que desfaz f. Se duas imagens coincidem, aplicar f de novo revela que as origens também coincidem.

Passo 4

Prova de que f é sobrejetiva.
  • Pegue um elemento arbitrário y\in X. Como f tem imagem em X, o elemento f(y) pertence a X.
  • Considere x = f(y). Como x\in X, podemos calcular f(x). Usando a hipótese,
f(x) = f(f(y)) = y.
  • Assim encontramos um x\in X (especificamente x=f(y)) tal que f(x)=y. Isso vale para todo y\in X.
  • Portanto f é sobrejetiva.
Comentário didático curto: para mostrar surjetividade é suficiente, para cada y, construir um x que mapeie para y. Aqui a própria fórmula x=f(y) funciona porque aplicar f novamente retorna y.

Passo 5

Conclusão e observação extra.
  • Já temos que f é injetiva (Passo 3) e sobrejetiva (Passo 4). Logo f é bijetiva.
  • Observação útil: a condição f(f(x))=x implica que f é a sua própria inversa; isto é, f^{-1}=f. De fato, para todo x\in X tem-se f(f(x))=x, que é exatamente a condição f^{-1}(x)=f(x) reescrita de forma equivalente (mais formalmente: a função que compõe com f e dá a identidade é única, e f satisfaz isso, então é a inversa).

Resposta

f é bijetiva.

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