Sejam
um conjunto não vazio e
uma função tal que
. Mostre que
é bijetiva.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
- O enunciado dá um conjunto não vazio
. - Dá uma função
tal que
- O que precisamos mostrar:
é bijetiva (ou seja, injetiva e sobrejetiva).
Passo 2
Definições importantes (para não ficar confuso):
- Dizemos que
é injetiva se, sempre que com , então . - Dizemos que
é sobrejetiva se, para todo , existe tal que . - Dizemos que
é bijetiva se ela for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Vou provar primeiro a injetividade, depois a sobrejetividade.
Passo 3
Prova de que
é injetiva.
- Começo assumindo que
e que
- Como
mapeia em , posso aplicar aos dois lados da igualdade. Aplicando em e em obtenho:
- Pela hipótese do enunciado,
para todo . Então substituo:
- Concluo que, sempre que
, temos . Isso é exatamente a definição de injetividade. Logo é injetiva.
Comentário didático curto: a ideia foi usar a condição
como uma “volta” que desfaz
. Se duas imagens coincidem, aplicar
de novo revela que as origens também coincidem.
Passo 4
Prova de que
é sobrejetiva.
- Pegue um elemento arbitrário
. Como tem imagem em , o elemento pertence a . - Considere
. Como , podemos calcular . Usando a hipótese,
- Assim encontramos um
(especificamente ) tal que . Isso vale para todo . - Portanto
é sobrejetiva.
Comentário didático curto: para mostrar surjetividade é suficiente, para cada
, construir um
que mapeie para
. Aqui a própria fórmula
funciona porque aplicar
novamente retorna
.
Passo 5
Conclusão e observação extra.
- Já temos que
é injetiva (Passo 3) e sobrejetiva (Passo 4). Logo é bijetiva. - Observação útil: a condição
implica que é a sua própria inversa; isto é, . De fato, para todo tem-se , que é exatamente a condição reescrita de forma equivalente (mais formalmente: a função que compõe com e dá a identidade é única, e satisfaz isso, então é a inversa).