Responda:
Suponha que \left|a_{n}\right| converge para zero. Mostre que a_{n} também converge para zero;
Passo 1
O enunciado diz que a sequência \left|a_{n}\right| converge para zero. Ou seja, a informação que temos é: \left|a_{n}\right|\to 0. A tarefa é mostrar que a própria sequência a_{n} converge para zero, ou seja, provar que a_{n}\to 0.
Passo 2
Vou lembrar a definição de convergência de sequência de forma bem explícita. Uma sequência x_{n} converge para um número L (escrevemos x_{n}\to L) se, para todo \varepsilon>0 dado, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, temos
|x_{n}-L|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é qualquer número positivo pequeno que eu escolher, e N depende de \varepsilon e é um índice a partir do qual todos os termos da sequência ficam a menos de \varepsilon de L.
Passo 3
Aplicando a definição à hipótese \left|a_{n}\right|\to 0: por definição, isso significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|\,|a_{n}|-0\bigr|<\varepsilon.
Agora explico a simplificação desta expressão: \bigl|\,|a_{n}|-0\bigr|=\bigl||a_{n}|\bigr|=|a_{n}|, porque o valor absoluto de um número já não-negativo é ele mesmo. Logo, a condição acima equivale a
|a_{n}|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
Passo 4
Observe que |a_{n}-0|=|a_{n}|. Comparando com o critério de convergência do Passo 2, vemos que para o mesmo N (o garantido pela convergência de |a_n|) temos, para todo n\ge N,
|a_{n}-0|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de a_{n}\to 0: para cada \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N vale |a_n-0|<\varepsilon.
Portanto a conclusão é imediata: a hipótese de que \left|a_{n}\right|\to 0 já fornece o N necessário para a definição de a_{n}\to 0. Intuitivamente: se os módulos dos termos ficam arbitrariamente pequenos, os termos em si (que só podem diferir de seus módulos pelo sinal) também ficam arbitrariamente pequenos. Um exemplo simples para fixar a ideia: se a_{n}=(-1)^{n}/n, então |a_{n}|=1/n\to 0, e por isso a_{n}\to 0.