Responda:
Discuta sobre a convergência de a_{n} quando se sabe que \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty.

Passo 1

Enunciado: estamos dados que \left|a_{n}\right| \rightarrow +\infty. A pergunta é: o que se pode concluir sobre a convergência da sequência \left(a_{n}\right)?\n
Informações que o enunciado fornece:
  • Para a sequência \left(a_{n}\right) vale \left|a_{n}\right| \rightarrow +\infty.
  • Não foi dito explicitamente se os termos a_{n} são reais ou complexos; vou trabalhar no caso real (sequência em \mathbb{R}), que é o mais comum em análise básica.
    O que é pedido:
  • Discutir se \left(a_{n}\right) pode convergir (a um número real finito), ou divergir para +\infty ou para -\infty, ou ainda ter outro comportamento.

Passo 2

Definição e intuição por trás de \left|a_{n}\right| \rightarrow +\infty.\n
Significa, por definição, que:
\forall M>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ n\ge N \Rightarrow |a_n|>M.
Interpretação intuitiva: os módulos |a_n| crescem sem limite — dado qualquer valor grande M, todos os termos suficientemente à frente têm módulo maior que M. Em palavras: os termos ficam, em valor absoluto, arbitrariamente grandes.

Passo 3

Prova de que \left(a_{n}\right) não pode convergir para um número real finito.\n
Suponha, por contradição, que exista L\in\mathbb{R} tal que a_n\to L. A função valor absoluto x\mapsto|x| é contínua em \mathbb{R}. Uma forma direta de ver essa continuidade é usar a desigualdade triangular modificada:
\big||x|-|y|\big|\le |x-y|.
Com isso, se a_n\to L então |a_n|\to|L|. Logo |a_n| teria limite finito |L|. Mas isso contradiz a hipótese |a_n|\to+\infty. Portanto não existe L\in\mathbb{R} com a_n\to L. Conclusão: \left(a_{n}\right) não converge para nenhum número real finito.

Passo 4

Analisar a possibilidade de \left(a_{n}\right) tender para +\infty ou para -\infty.\n
Definição: dizemos a_n\to +\infty se
\forall M>0\\ \exists N\\ \text{tal que}\\ n\ge N \Rightarrow a_n>M,
e análogamente para a_n\to -\infty.\n
Se a partir de certo índice os termos têm sinal constante, então o comportamento é determinado pela hipótese sobre |a_n|. Mais precisamente:
  • Se existe N tal que para todo n\ge N vale a_n\ge 0, então para n\ge N temos |a_n|=a_n. Como |a_n|\to+\infty, segue que a_n\to+\infty.
  • Se existe N tal que para todo n\ge N vale a_n\le 0, então para n\ge N temos |a_n|=-a_n. Como |a_n|\to+\infty, segue que a_n\to -\infty.
    Portanto, sempre que o sinal de a_n estabiliza (tornando-se não-negativo ou não-positivo) para n grande, a sequência diverge para +\infty ou -\infty respectivamente.

Passo 5

Exemplo que mostra que |a_n|\to+\infty não implica necessariamente a_n\to+\infty nem a_n\to -\infty.\n
Considere a sequência \;a_n = (-1)^n n\;. Aqui |a_n| = n e claramente |a_n|\to+\infty. Mas os termos alternam de sinal: para n par, a_n= n\to +\infty; para n ímpar, a_n=-n\to -\infty. Assim:
  • Não existe N a partir do qual todos os termos sejam \ge 0 nem \le 0.
  • A sequência (a_n) não converge em \mathbb{R} (já sabíamos), e também não tende nem para +\infty nem para -\infty, porque dados M>0 há índices com a_n>M e há índices com a_n<-M. Portanto o comportamento é de divergência oscilante com módulo divergente.

Passo 6

Observação sobre subsequências e consequências práticas para prova.\n
Se |a_n|\to+\infty, então qualquer subsequência \left(a_{n_k}\right) também satisfaz |a_{n_k}|\to+\infty. Portanto nenhuma subsequência pode convergir para um número real finito. Em provas rápidas: ao ver |a_n|\to+\infty conclua imediatamente que não há convergência para número finito; para decidir se o limite é +\infty ou -\infty verifique se o sinal dos termos se estabiliza. Se não se estabilizar, espere um comportamento oscilante (ex.: (-1)^n n).

Passo 7

Resumo final e dica prática amiga.\n
  • Fato crucial: |a_n|\to+\infty impedirá qualquer limite finito para a_n.
  • Pode ocorrer: a_n\to+\infty, se os termos são eventualmente não-negativos; ou a_n\to-\infty, se os termos são eventualmente não-positivos.
  • Pode também ocorrer que a_n não tenda nem para +\infty nem para -\infty (divergência oscilante), quando o sinal não estabiliza — exemplo clássico a_n=(-1)^n n.\n
    Dica de prova rápida na prova: escreva a definição de |a_n|\to+\infty, mostre que não pode haver limite finito por continuidade do valor absoluto, e verifique eventual estabilidade do sinal para decidir se o limite é +\infty ou -\infty.

Resposta

A sequência \left(a_{n}\right) não pode convergir para nenhum número real finito.
Se os sinais de a_n se estabilizarem para não-negativos então a_n\to+\infty; se se estabilizarem para não-positivos então a_n\to-\infty.
Se o sinal não se estabilizar, a sequência diverge sem limite infinito (comportamento oscilante), por exemplo a_n=(-1)^n n.

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