Responder:
O acadêmico Gabriel Bentes em sua apresentaçåo de seminário avaliativo sobre ressonância utilizou um instrumento musical (violão) e ele sabe que, antes de iniciar a tocar, necessita tocar um pouco o instrumento para ajustar suas cordas porque, após alguns minutos de execução, as cordas se aquecem e cedem ligeiramente. Como esse pequeno afrouxamento afeta as freqüências de ressonância das ondas? Explique:
O acadêmico Gabriel Bentes em sua apresentaçåo de seminário avaliativo sobre ressonância utilizou um instrumento musical (violão) e ele sabe que, antes de iniciar a tocar, necessita tocar um pouco o instrumento para ajustar suas cordas porque, após alguns minutos de execução, as cordas se aquecem e cedem ligeiramente. Como esse pequeno afrouxamento afeta as freqüências de ressonância das ondas? Explique:
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como o pequeno afrouxamento (redução de tensão) das cordas, causado pelo aquecimento durante a execução, afeta as frequências de ressonância das ondas na corda do violão.
Informações relevantes dadas/assumidas:
- As cordas aquecem e “cedem” ligeiramente, ou seja, há uma redução da tensão nas cordas.
- A corda está presa entre dois pontos (cavalete e pestana), definindo um comprimento efetivo
. - A massa total da corda
é constante no curto prazo; portanto a densidade linear pode variar se o comprimento mudar. - Quer-se entender o efeito sobre as frequências naturais (fundamental e harmônicos).
Passo 2
Modelo físico básico (ideia principal que vamos usar).
- Uma corda esticada sustenta ondas transversais cuja velocidade de propagação
depende da tensão e da densidade linear da corda. - Para uma corda ideal (pequenas vibrações, extremos fixos) vale a relação
Explanação do que cada símbolo significa:
-
é a velocidade de propagação da onda na corda (m/s). -
é a tensão da corda (N). -
é a massa por unidade de comprimento da corda (kg/m), isto é se é a massa total e o comprimento entre pontos fixos.
Breve justificativa física (intuição): maior tensão puxa a corda com mais força e deixa as ondas correrem mais rápido; mais massa por comprimento torna a corda “mais pesada” e reduz a velocidade.
Passo 3
Frequências das harmônicas (modos normais) de uma corda presa nas duas extremidades.
- Os modos normais têm comprimentos de onda
, onde é o número do harmônico ( é a fundamental). - A frequência de cada harmônico é
Substituindo
do passo anterior:
Explicação dos símbolos nesta fórmula:
-
é a frequência do -ésimo harmônico (Hz). -
é o comprimento efetivo da corda entre pontos fixos. - A fórmula mostra que
aumenta com e diminui se ou aumentarem.
Passo 4
Simplificação útil usando
.
- Substituindo
em :
Conclusão prática: com massa total
constante, a frequência depende de
e de
como
Isto é importante porque aquecimento pode alterar tanto
(por relaxamento/cedimento) quanto
(por dilatação térmica do metal e da madeira).
Passo 5
Pequenas variações: fórmula linearizada (útil para estimar).
- Para variações pequenas de
e é conveniente trabalhar com variações relativas. A partir de obtemos, para uma pequena mudança,
Interpretação:
- Uma redução da tensão
tende a diminuir . - Um aumento do comprimento
(dilatação térmica) também tende a diminuir . - Se
for praticamente fixo (corda presa firme e madeira pouco afetada no curto prazo), a relação reduz-se para
Passo 6
Aplicando ao caso descrito (cordas “cedendo” por aquecimento).
- O enunciado diz que as cordas “cedem ligeiramente”, i.e.,
diminui. Assim . - Pela fórmula do passo anterior, isso causa
: todas as frequências (fundamental e harmônicos) caem, em proporção parecida. - Observação sobre harmônicos: como
depende de multiplicado por , a diminuição de desloca todos os harmônicos na mesma razão (fatores iguais); a estrutura relativa entre harmônicos permanece aproximadamente a mesma (mas existe também efeito pequeno de rigidez da corda que pode introduzir leve inarmonicidade, mas é um efeito secundário).
Passo 7
Estimativa numérica para ter noção prática.
- Suponha, por exemplo, que a tensão caia
, isto é . - Pela aproximação,
ou seja, uma queda de
na frequência.
- Para a nota
com , isso dá aproximadamente
portanto a nota passa para cerca de
.
- Em termos de afinação percebida (cents), a mudança em cents é dada por
Para
a aproximação linear fornece
que já é percebível por um ouvido atento ao afinar um instrumento (um cent é
de semitom;
cents é uma queda pequena mas notável).
Passo 8
Recapitulando e colocando no contexto prático do Gabriel.
- Causa principal: o aquecimento e relaxamento da corda reduzem
, fazendo as frequências descerem. - Possíveis contribuições adicionais: dilatação térmica (aumenta
, reduzindo ainda mais ) e alterações nas propriedades elásticas do metal (pode alterar e módulo de Young). Em conjunto, o efeito prático é que a corda desafina tocando por alguns minutos. - Consequência prática para o músico: é necessário retocar (apertar as tarraxas) logo após começar a tocar e, dependendo do estilo, retocar periodicamente até o sistema térmico das cordas e madeira estabilizar.
Resposta
As frequências diminuem quando as cordas cedem, porque para uma corda vibrante vale
e, para pequenas variações,
. Assim, uma redução da tensão (
) produz uma queda das frequências (por exemplo,
dá
, ou
cents para
).