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O acadêmico Gabriel Bentes em sua apresentaçåo de seminário avaliativo sobre ressonância utilizou um instrumento musical (violão) e ele sabe que, antes de iniciar a tocar, necessita tocar um pouco o instrumento para ajustar suas cordas porque, após alguns minutos de execução, as cordas se aquecem e cedem ligeiramente. Como esse pequeno afrouxamento afeta as freqüências de ressonância das ondas? Explique:

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar como o pequeno afrouxamento (redução de tensão) das cordas, causado pelo aquecimento durante a execução, afeta as frequências de ressonância das ondas na corda do violão.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • As cordas aquecem e “cedem” ligeiramente, ou seja, há uma redução da tensão nas cordas.
  • A corda está presa entre dois pontos (cavalete e pestana), definindo um comprimento efetivo L.
  • A massa total da corda m é constante no curto prazo; portanto a densidade linear \mu pode variar se o comprimento L mudar.
  • Quer-se entender o efeito sobre as frequências naturais (fundamental e harmônicos).

Passo 2

Modelo físico básico (ideia principal que vamos usar).
  • Uma corda esticada sustenta ondas transversais cuja velocidade de propagação v depende da tensão T e da densidade linear \mu da corda.
  • Para uma corda ideal (pequenas vibrações, extremos fixos) vale a relação
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Explanação do que cada símbolo significa:
  • v é a velocidade de propagação da onda na corda (m/s).
  • T é a tensão da corda (N).
  • \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (kg/m), isto é \mu=m/L se m é a massa total e L o comprimento entre pontos fixos.
Breve justificativa física (intuição): maior tensão puxa a corda com mais força e deixa as ondas correrem mais rápido; mais massa por comprimento torna a corda “mais pesada” e reduz a velocidade.

Passo 3

Frequências das harmônicas (modos normais) de uma corda presa nas duas extremidades.
  • Os modos normais têm comprimentos de onda \lambda_n=2L/n, onde n\in\{1,2,3,\dots\} é o número do harmônico ( n=1 é a fundamental).
  • A frequência de cada harmônico é
f_n=\dfrac{v}{\lambda_n}=\dfrac{n}{2L}\,v.
Substituindo v do passo anterior:
f_n=\dfrac{n}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Explicação dos símbolos nesta fórmula:
  • f_n é a frequência do n-ésimo harmônico (Hz).
  • L é o comprimento efetivo da corda entre pontos fixos.
  • A fórmula mostra que f_n aumenta com \sqrt{T} e diminui se \mu ou L aumentarem.

Passo 4

Simplificação útil usando \mu=m/L.
  • Substituindo \mu=m/L em f_n:
f_n=\dfrac{n}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{m/L}}=\dfrac{n}{2}\sqrt{\dfrac{T}{mL}}.
Conclusão prática: com massa total m constante, a frequência depende de T e de L como
f_n\propto\sqrt{\dfrac{T}{L}}.
Isto é importante porque aquecimento pode alterar tanto T (por relaxamento/cedimento) quanto L (por dilatação térmica do metal e da madeira).

Passo 5

Pequenas variações: fórmula linearizada (útil para estimar).
  • Para variações pequenas de T e L é conveniente trabalhar com variações relativas. A partir de f\propto\sqrt{T/L} obtemos, para uma pequena mudança,
\dfrac{\Delta f}{f}\approx \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\Delta T}{T}-\dfrac{\Delta L}{L}\right).
Interpretação:
  • Uma redução da tensão \Delta T<0 tende a diminuir f.
  • Um aumento do comprimento \Delta L>0 (dilatação térmica) também tende a diminuir f.
  • Se L for praticamente fixo (corda presa firme e madeira pouco afetada no curto prazo), a relação reduz-se para
\dfrac{\Delta f}{f}\approx \dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta T}{T}.

Passo 6

Aplicando ao caso descrito (cordas “cedendo” por aquecimento).
  • O enunciado diz que as cordas “cedem ligeiramente”, i.e., T diminui. Assim \Delta T<0.
  • Pela fórmula do passo anterior, isso causa \Delta f<0: todas as frequências (fundamental e harmônicos) caem, em proporção parecida.
  • Observação sobre harmônicos: como f_n depende de \sqrt{T} multiplicado por n, a diminuição de T desloca todos os harmônicos na mesma razão (fatores iguais); a estrutura relativa entre harmônicos permanece aproximadamente a mesma (mas existe também efeito pequeno de rigidez da corda que pode introduzir leve inarmonicidade, mas é um efeito secundário).

Passo 7

Estimativa numérica para ter noção prática.
  • Suponha, por exemplo, que a tensão caia \,1\%, isto é \dfrac{\Delta T}{T}=-0{,}01.
  • Pela aproximação,
\dfrac{\Delta f}{f}\approx \dfrac{1}{2}(-0{,}01)=-0{,}005,
ou seja, uma queda de 0{,}5\% na frequência.
  • Para a nota A_4 com f=440\\ \text{Hz}, isso dá aproximadamente
\Delta f\approx -0{,}005\times 440\\ \text{Hz}=-2{,}2\\ \text{Hz},
portanto a nota passa para cerca de 437{,}8\\ \text{Hz}.
  • Em termos de afinação percebida (cents), a mudança em cents é dada por
\Delta\text{cents}=1200\log_2\!\left(1+\dfrac{\Delta f}{f}\right).
Para \dfrac{\Delta f}{f}=-0{,}005 a aproximação linear fornece
\Delta\text{cents}\approx 1200\dfrac{\ln(1-0{,}005)}{\ln 2}\approx -8{,}7\\ \text{cents},
que já é percebível por um ouvido atento ao afinar um instrumento (um cent é 1/100 de semitom; 8{,}7 cents é uma queda pequena mas notável).

Passo 8

Recapitulando e colocando no contexto prático do Gabriel.
  • Causa principal: o aquecimento e relaxamento da corda reduzem T, fazendo as frequências descerem.
  • Possíveis contribuições adicionais: dilatação térmica (aumenta L, reduzindo ainda mais f) e alterações nas propriedades elásticas do metal (pode alterar T e módulo de Young). Em conjunto, o efeito prático é que a corda desafina tocando por alguns minutos.
  • Consequência prática para o músico: é necessário retocar (apertar as tarraxas) logo após começar a tocar e, dependendo do estilo, retocar periodicamente até o sistema térmico das cordas e madeira estabilizar.

Resposta

As frequências diminuem quando as cordas cedem, porque para uma corda vibrante vale \;f_n=\dfrac{n}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\; e, para pequenas variações, \dfrac{\Delta f}{f}\approx\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\Delta T}{T}-\dfrac{\Delta L}{L}\right). Assim, uma redução da tensão ( \Delta T<0) produz uma queda das frequências (por exemplo, \Delta T/T=-0{,}01 \Delta f/f\approx-0{,}005, ou \approx-8{,}7 cents para A_4=440\\ \text{Hz}).

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