Resposta: T_{f, s a i}=36,6^{\circ} \mathrm{C}, \quad T_{q, s a i}=143,5^{\circ} \mathrm{C}.
11.4 Um trocador de calor casco e tubos, com uma passagem no casco e uma passagem nos tubos, é utilizado para resfriar gases de exaustão por meio de água saturada. Os gases de exaustão escoam no interior dos tubos, entrando a T_{q, \text { ent }}=400^{\circ} \mathrm{C} e saindo a T_{q, s a i}=215^{\circ} \mathrm{C}, com vazão mássica \dot{m}_{q}=2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A água saturada escoa no lado do casco a p=11,7 \mathrm{bar}, com temperatura de saturação T_{f, \text { ent }}=187^{\circ} \mathrm{C}.
O trocador possui N tubos de comprimento L, com diâmetro interno D_{i}=50 \mathrm{~mm}, diâmetro externo D_{e}=58 \mathrm{~mm} e condutividade térmica da parede k=40 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). A resistência de incrustação no lado dos gases é R_{d, q}^{\prime \prime}=0,0015 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W}. A velocidade média dos gases no interior dos tubos não deve exceder u_{m, i}=25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Admita regime permanente, perdas térmicas desprezíveis para o ambiente, resistência térmica desprezível do lado da água, propriedades constantes e escoamento dos gases plenamente desenvolvido. As propriedades dos gases de exaustão podem ser aproximadas pelas propriedades do ar a T_{q}= 581 K :
\rho_{q}=0,600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \quad c_{p, q}=1047 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}),
\nu_{q}=4,991 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \quad k_{q}=0,0457 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), \quad \operatorname{Pr}_{q}=0,684.
(b) a temperatura de saída da água.
Resposta: T_{f, s a i}=36,6^{\circ} \mathrm{C}, \quad T_{q, s a i}=143,5^{\circ} \mathrm{C}.
Determine o número de tubos necessário e o comprimento de cada tubo. Considere 1 bar =0.9869 atm.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada):
  • Vazão mássica dos gases: \dot{m}_{q}=2{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura de entrada dos gases: T_{q,\text{ent}}=400^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída dos gases (informada no enunciado/figura que usarei): T_{q,\text{sai}}=215^\circ\mathrm{C}.
  • Água saturada no casco a p=11{,}7\\ \mathrm{bar} com T_{f,\text{ent}}=187^\circ\mathrm{C}. (O enunciado diz resistência desprezível do lado da água.)
  • Diâmetros dos tubos: D_{i}=0{,}050\\ \mathrm{m} e D_{o}=0{,}058\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da parede: k=40\\ \mathrm{W/(mK)}.
  • Resistência de incrustação no lado dos gases: R_{d,q}^{\prime\prime}=0{,}0015\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
  • Limite máximo de velocidade média nos tubos: u_{m,i}=25\\ \mathrm{m/s}.
  • Propriedades dos gases (a T_q\approx581\\ \mathrm{K}, pegadas do enunciado):
    • \rho_{q}=0{,}600\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • c_{p,q}=1047\\ \mathrm{J/(kg\,K)},
    • \nu_{q}=4{,}991\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},
    • k_{q}=0{,}0457\\ \mathrm{W/(mK)},
    • \mathrm{Pr}_{q}=0{,}684.
O que é pedido: determinar o número de tubos N e o comprimento de cada tubo L.
Observações/assunções que farei (explicito para não deixar nada escondido):
  • O lado do casco (água saturada) tem resistência térmica desprezível (dado), portanto a superfície externa do tubo estará praticamente à temperatura de saturação T_{f}=187^\circ\mathrm{C}.
  • O escoamento nos tubos será tomado como plenamente desenvolvido e turbulento (confirmamos isso por cálculo).
  • A resistência de incrustação dada é no lado dos gases (dentro dos tubos); assumirei que o valor dado R_{d,q}^{\prime\prime} se refere à área interna e farei a conversão para a área externa quando necessário (vou explicar como).
  • Vou usar coeficiente global U referido à área externa dos tubos A_{o} e a relação padrão para tubos finitos: \frac{1}{U_{o}}=\frac{D_{o}}{D_{i}}\cdot\frac{1}{h_{i}}+\frac{D_{o}}{2k}\ln\!\left(\frac{D_{o}}{D_{i}}\right)+R''_{f,o},onde explicarei cada termo.

Passo 2

Calcular a carga térmica Q que os gases precisam perder.
  • Fórmula de balanço de energia para os gases (regime permanente, sem variação de massa): Q=\dot{m}_{q}\,c_{p,q}\left(T_{q,\text{ent}}-T_{q,\text{sai}}\right).
  • Substituindo: Q=2{,}0\cdot1047\cdot(400-215)\\ \mathrm{W}.Primeiro calcule a diferença de temperatura: 400-215=185\\ \mathrm{K}. Q=2{,}0\cdot1047\cdot185=2094\cdot185=387\,390\\ \mathrm{W}.
Portanto Q\approx387{,}4\\ \mathrm{kW}.
(Comentário amigo) Esse é o calor que tem de sair dos gases e entrar na água condensando no casco.

Passo 3

Determinar o número mínimo de tubos N usando o limite de velocidade dentro dos tubos (para reduzir o número de tubos, a estratégia é usar a velocidade máxima permitida; assim mapeamos o menor número de tubos que satisfaz o limite).
  • Área interna de um tubo: A_{i}=\frac{\pi D_{i}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}050)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0025/4\approx0{,}0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão mássica por tubo (se a velocidade média u=25\\ \mathrm{m/s} for usada): \dot{m}_{\text{por tubo}}=\rho_{q}\,A_{i}\,u=0{,}600\cdot0{,}0019635\cdot25.Calcule: \dot{m}_{\text{por tubo}}=0{,}600\cdot0{,}0490875\approx0{,}02945\\ \mathrm{kg/s}.
  • Número de tubos necessário: N=\frac{\dot{m}_{q}}{\dot{m}_{\text{por tubo}}}=\frac{2{,}0}{0{,}02945}\approx67{,}92.
Como N deve ser inteiro, tomo N=68 tubos. (Se escolher N=67 a velocidade excederia o limite.)

Passo 4

Verificar regime de escoamento e calcular o coeficiente convectivo interno h_{i}.
  • Reynolds no tubo: \mathrm{Re}=\frac{u\,D_{i}}{\nu_{q}}=\frac{25\cdot0{,}050}{4{,}991\times10^{-5}}.Calcule: \mathrm{Re}\approx\frac{1{,}25}{4{,}991\times10^{-5}}\approx25\,050.Isso é claramente turbulento ( \mathrm{Re}>4000).
  • Vou usar correlação de Dittus–Boelter para fluxo interno turbulento. Como o fluido (ar) está sendo resfriado, uso a forma com expoente de \mathrm{Pr} igual a 0{,}3 (prática comum para resfriamento do fluido): \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}3}.Substituindo: \mathrm{Nu}=0{,}023\cdot(25\,050)^{0{,}8}\cdot(0{,}684)^{0{,}3}.Calculei numericamente: \mathrm{Nu}\approx67{,}96.
  • Coeficiente convectivo interno: h_{i}=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{q}}{D_{i}}=\frac{67{,}96\cdot0{,}0457}{0{,}050}\approx62{,}16\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
(Comentário) Esse h_{i} é relativamente baixo porque se trata de gás; por isso a resistência convectiva do gás domina.

Passo 5

Calcular o coeficiente global U_{o} referido à área externa dos tubos.
  • Fórmula (referida à área externa) que integra as resistências: convecção interna, condução radial na parede e incrustação (fouling) do lado dos gases. A forma usada: \frac{1}{U_{o}}=\frac{D_{o}}{D_{i}}\cdot\frac{1}{h_{i}}+\frac{D_{o}}{2k}\ln\!\left(\frac{D_{o}}{D_{i}}\right)+R''_{f,o}.Onde R''_{f,o} é a resistência de incrustação referida à área externa. O enunciado deu R''_{d,q}=0{,}0015\\ \mathrm{m^{2}K/W} no lado dos gases; essa resistência normalmente é dada por unidade de área do lado onde ela ocorre (aqui o lado interno). Para referi-la à área externa faço a conversão: R''_{f,o}=R''_{d,q}\cdot\frac{D_{i}}{D_{o}}=0{,}0015\cdot\frac{0{,}050}{0{,}058}\approx0{,}001293\\ \mathrm{m^{2}K/W}.(Expliquei a conversão: resistências por unidade de área escalam com razão de diâmetros quando se muda a referência de área.)
  • Agora calcule cada termo:
    • Primeiro termo: \frac{D_{o}}{D_{i}}\cdot\frac{1}{h_{i}}=\frac{0{,}058}{0{,}050}\cdot\frac{1}{62{,}16}\approx1{,}16\cdot0{,}01609\approx0{,}01867\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
    • Segundo termo (condução radial na parede): \frac{D_{o}}{2k}\ln\!\left(\frac{D_{o}}{D_{i}}\right)=\frac{0{,}058}{2\cdot40}\ln\!(1{,}16)\approx0{,}0001076\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
    • Fouling convertido: R''_{f,o}\approx0{,}001293\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
  • Soma: \frac{1}{U_{o}}\approx0{,}01867+0{,}0001076+0{,}001293\approx0{,}02007\\ \mathrm{m^{2}K/W}.Portanto U_{o}\approx\frac{1}{0{,}02007}\approx49{,}8\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
(Comentário) A resistência convectiva do gás domina; a condução da parede é pequena.

Passo 6

Calcular o log-mean temperature difference (LMTD) adequadamente.
  • Como o fluido do casco (água saturada) se condensa, sua temperatura é praticamente constante em T_{f}=187^\circ\mathrm{C}. Assim as diferenças de temperatura nas extremidades são: \Delta T_{1}=T_{q,\text{ent}}-T_{f}=400-187=213\\ \mathrm{K},
\Delta T_{2}=T_{q,\text{sai}}-T_{f}=215-187=28\\ \mathrm{K}.
  • LMTD: \Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{\Delta T_{1}-\Delta T_{2}}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_{1}}{\Delta T_{2}}\right)}=\frac{213-28}{\ln(213/28)}=\frac{185}{\ln(7{,}6071)}\approx91{,}20\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Determinar o comprimento L de cada tubo a partir de Q=U_{o}A_{o}\Delta T_{\mathrm{lm}}, com A_{o}=N\pi D_{o}L.
  • Reescrevendo para L: L=\frac{Q}{U_{o}\,N\,\pi D_{o}\,\Delta T_{\mathrm{lm}}}.
  • Substituindo valores numéricos: L=\frac{387\,390}{49{,}8\cdot68\cdot\pi\cdot0{,}058\cdot91{,}20}\\ \mathrm{m}.Vamos calcular passo a passo:
    • \pi D_{o}= \pi\cdot0{,}058\approx0{,}18221\\ \mathrm{m}.
    • Produto U_{o}N\pi D_{o}\Delta T_{\mathrm{lm}}=49{,}8\cdot68\cdot0{,}18221\cdot91{,}20\approx56\,261{,}5\\ \mathrm{W/m}.
    • Assim L\approx\frac{387\,390}{56\,261{,}5}\approx6{,}89\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão do cálculo: cada tubo precisa ter comprimento L\approx6{,}89\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificações rápidas e observações práticas
  • Com N=68 tubos, a vazão por tubo e a velocidade ficam iguais às usadas no cálculo (pois determinamos N a partir disso), ou seja u\approx25\\ \mathrm{m/s} (o limite).
  • Comprimento L\approx6{,}9\\ \mathrm{m} é um valor que, dependendo do projeto, pode ser longo para um trocador padrão (muitos projetos limitam L a 6 m ou menos por transporte/manufatura). Se existirem restrições práticas sobre L, há duas opções: aumentar N (para reduzir L) ou aceitar várias passagens/arranjos. Para reduzir L por exemplo para 6{,}0\\ \mathrm{m}, calcule N_{\text{novo}}=\frac{Q}{U_{o}\pi D_{o} L_{\text{novo}}\Delta T_{\mathrm{lm}}} e arredonde para cima — isso aumentaria o número de tubos.
  • Também observei e usei a hipótese do enunciado de que a resistência do lado da água é desprezível (caso contrário, U seria maior e L menor).
(Comentário final amigo) Pronto — fiz passo a passo e cheguei aos valores. Se quiser, eu já recalculo escolhendo um comprimento máximo prático (ex.: L_{\max}=6{,}0\\ \mathrm{m}) e te mostro quantos tubos seriam necessários nesse caso.

Resposta

\;N=68\\ \text{tubos}
\;L=6,89\\ \mathrm{m}

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