2.2 Considere um corpo bidimensional com condutividade térmica constante k=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, em regime permanente e sem geração interna de calor. Parte da superfície é isolada, enquanto duas superfícies são isotérmicas: a superfície A, com temperatura T_{A}=0^{\circ} \mathrm{C} e largura w_{A}=2 \mathrm{~m}, e a superfície B, com temperatura T_{B}=100^{\circ} \mathrm{C} e largura w_{B}=1 \mathrm{~m}. Na superfície A, o gradiente de temperatura normal à superfície é \partial T / \partial y=30 \mathrm{~K} / \mathrm{m}. Admitindo condução bidimensional, propriedades constantes e fluxo de calor normal às superfícies isotérmicas, determine os gradientes de temperatura \partial T / \partial x e \partial T / \partial y na superfície B.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (alguns números foram obtidos da imagem enviada):
Superfície A: temperatura \,T_A=0^\circ\mathrm{C}\, e largura \,w_A=2\\ \mathrm{m}\,.
Na superfície A o gradiente normal é \displaystyle \left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{A}=30\\ \mathrm{K}/\mathrm{m}.
Superfície B: temperatura \,T_B=100^\circ\mathrm{C}\, e largura \,w_B=1\\ \mathrm{m}\,.
Parte da superfície é isolada (sem fluxo) e o fluxo de calor nas superfícies isotérmicas é normal às superfícies.
O que se pede:
Determinar \displaystyle \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{B} e \displaystyle \left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{B}.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática):
Lei de Fourier (condução): o vetor fluxo de calor é \displaystyle \mathbf{q}=-k\,\nabla T. Isso significa que, componente a componente,q_x = -k\frac{\partial T}{\partial x},\qquad q_y = -k\frac{\partial T}{\partial y}.Aqui \mathbf{q} tem unidades de \mathrm{W}/\mathrm{m}^2: indica potência por unidade de área e o sinal mostra direção (negativo quando o gradiente é positivo).
Conservação de energia em regime estacionário e sem geração: o fluxo total de calor que sai pela fronteira é zero. Em forma integral, \displaystyle \oint_{\partial V}\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\,dS=0. Na prática: a soma dos fluxos através das superfícies que permitem fluxo deve ser zero, pois as partes isoladas não transferem calor.
Interpretação de “fluxo normal às superfícies isotérmicas”: se a superfície isotérmica é vertical (como B), o fluxo tangencial sobre essa superfície é nulo; isto implica que a componente tangencial do gradiente de temperatura nessa superfície é zero. No caso da superfície B vertical, a componente tangencial é a componente em y; portanto naquele ponto espera-se q_y=0\Rightarrow \partial T/\partial y =0 na superfície B. Vou usar essas ideias para montar as equações.
Passo 3
Calcular o fluxo na superfície A usando Fourier (pegando o valor do gradiente na imagem):
Pelo enunciado \displaystyle \left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{A}=30\\ \mathrm{K}/\mathrm{m}.
Pela lei de Fourier:q_{y,A} = -k\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{A}.Substituindo:q_{y,A} = -10\cdot 30 = -300\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Interpretação do sinal: q_{y,A}<0 indica que o fluxo de calor através da superfície A tem componente negativa na direção y (isto é, sai no sentido negativo de y conforme o sistema de eixos mostrado).
Passo 4
Balanço de energia entre as superfícies A e B:
As partes isoladas não transferem calor, então os únicos fluxos que saem/entram do corpo são através das superfícies isotérmicas A e B.
Em regime permanente, a soma dos fluxos (por unidade de comprimento out-of-plane, já que o corpo é bidimensional) deve ser zero:q_{x,B}\,w_B + q_{y,A}\,w_A = 0.(soma de potências por unidade de comprimento; sinais mantidos conforme as componentes calculadas).
Substituindo w_A=2\\ \mathrm{m}, w_B=1\\ \mathrm{m} e q_{y,A}=-300\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2:q_{x,B} = -\frac{2}{1}\cdot(-300) = 600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.Assim, a componente x do fluxo na superfície B é q_{x,B}=600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (positiva no sentido +x).
Passo 5
Encontrar os gradientes na superfície B:
Como explicado no Passo 2, o fluxo é normal à superfície B (vertical), logo a componente tangencial q_y sobre B é nula. Portanto\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{B}=0\\ \mathrm{K}/\mathrm{m}.
Relação entre q_{x,B} e o gradiente em x na superfície B:q_{x,B} = -k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{B}.Logo\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{B} = -\frac{q_{x,B}}{k}.Substituindo q_{x,B}=600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e k=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}:\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{B} = -\frac{600}{10} = -60\\ \mathrm{K}/\mathrm{m}.
Interpretação do sinal: \left.\dfrac{\partial T}{\partial x}\right|_{B}=-60 significa que, na superfície B, a temperatura diminui quando se aumenta x (ou equivalentemente o calor flui no sentido +x, do interior para a superfície B se q_{x,B}>0).
Passo 6
Resumo e dica rápida para prova:
Use sempre a lei de Fourier para relacionar fluxo e gradiente e o balanço integral de energia (fluxo total nulo em regime estacionário sem geração).
Identifique superfícies isoladas (fluxo zero) e superfícies isotérmicas (fluxo perpendicular => componente tangencial do gradiente nula).
Em problemas bidimensionais com larguras diferentes, multiplique o fluxo por cada largura ao montar o balanço de energia.
Você fez certo se os sinais tiverem interpretação física consistente (fluxo do quente para o frio).