A resposta ao degrau unitário de um sistema linear, invariante no tempo, com condições iniciais nulas, é dada por:
y(t)=2-2 \cos (2 t), t \geq 0
a) Determinar sua função de transferência e a equação diferencial que o representa;
b) Determinar sua resposta à entrada a seguir, considerando y(0)=1 e \dot{y}(0)=-1 :
u(t)=e^{-2 t}, t \geq 0

Passo 1

O enunciado mostra um sistema LTI com condições iniciais nulas e cuja resposta ao degrau unitário é
y(t)=2-2\cos(2t),\quad t\ge0.
Pede-se:
a) determinar a função de transferência G(s) e a equação diferencial que o descreve;
b) usar essa equação para achar a resposta a u(t)=e^{-2t} com y(0)=1 e \dot y(0)=-1.

Passo 2

Para achar G(s) note que, em Laplace, a entrada degrau u(t)=1 vira 1/s e a saída tem transformada
Y(s)=\mathcal{L}\{2\}-\mathcal{L}\{2\cos(2t)\} = \frac{2}{s}-2\;\frac{s}{s^2+4}.
Como Y(s)=G(s)\,\frac1s, obtemos
G(s)=s\,Y(s) = s\Bigl(\frac{2}{s}-2\frac{s}{s^2+4}\Bigr) =2-2\frac{s^2}{s^2+4} =\frac{8}{s^2+4}.
Multiplicando ambos os lados por s^2+4
(s^2+4)Y(s)=8\,U(s),
que em domínio do tempo equivale à equação diferencial
\frac{d^2y}{dt^2}+4y=8\,u(t).

Passo 3

Agora resolvemos
y''+4y=8e^{-2t},
com y(0)=1 e y'(0)=-1.
A solução geral é soma da homogênea
y_h=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)
e de uma particular do tipo Ae^{-2t}. Substituindo em y''+4y=8e^{-2t} obtém-se
A\,(4+4)e^{-2t}=8e^{-2t}\;\Longrightarrow\;A=1.
Assim
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+e^{-2t}.
As condições iniciais dão
y(0)=C_1+1=1\;\Longrightarrow\;C_1=0,
y'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)-2e^{-2t} \;\Longrightarrow\;y'(0)=2C_2-2=-1 \;\Longrightarrow\;C_2=\tfrac12.

Passo 4

Portanto, a resposta ao impulso u(t)=e^{-2t} com as condições dadas é
y(t)=\tfrac12\sin(2t)+e^{-2t}.

Resposta

a) \displaystyle G(s)=\frac{8}{s^2+4}
Equação diferencial: \displaystyle y''+4y=8\,u(t).
b) \displaystyle y(t)=e^{-2t}+\tfrac12\sin(2t).

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