Resolva as seguintes EDO pelo método clássico:
\ddot{y}(t)-2 dot{y}(t)+5 y(t)=u(t), u(t)=8, dot{y}(0)=0\(e\)y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t)-2\dot{y}(t)+5y(t)=u(t),\quad u(t)=8,
com condições iniciais \dot{y}(0)=0 e y(0)=0.
O conteúdo necessário é: solução geral de EDO homogênea pelo polinômio característico, solução particular via coeficientes indeterminados e aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
\ddot{y}_h-2\dot{y}_h+5y_h=0.
A equação característica é
r^2-2r+5=0,
cuja solução são raízes complexas
r=1\pm2i.
Logo
y_h(t)=e^{t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p. Como u(t)=8 é constante, tentamos
y_p(t)=A,\quad A\text{ constante}.
Substituindo em \ddot y-2\dot y+5y=8
0-0+5A=8\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{8}{5}.
Portanto
y_p(t)=\frac{8}{5}.

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = e^{t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr)+\frac{8}{5}.

Passo 5

Usamos as condições iniciais. Primeiro em y(0)=0:
y(0)=C_1+\frac{8}{5}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1=-\frac{8}{5}.
Depois em \dot{y}(0)=0. Calculemos \dot y(t):
\dot y(t) =e^{t}\bigl(C_1\cos2t+C_2\sin2t\bigr) +e^{t}\bigl(-2C_1\sin2t+2C_2\cos2t\bigr).
Em t=0 isso vira
\dot y(0)=C_1+2C_2=0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{8}{5}+2C_2=0 \quad\Longrightarrow\quad C_2=\frac{4}{5}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(t) =e^{t}\!\Bigl(-\tfrac{8}{5}\cos(2t)+\tfrac{4}{5}\sin(2t)\Bigr) +\frac{8}{5}.

Resposta

y(t)=\frac{e^{t}}{5}\bigl(-8\cos(2t)+4\sin(2t)\bigr)+\frac{8}{5}.

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