Resolva as seguintes EDO pelo método clássico:
\dddot{y}+5 \ddot{y}(t)+9 \dot{y}(t)+5 y(t)=u(t), u(t)=6, \ddot{y}(0)=1, \dot{y}(0)=-1 e y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem
\dddot{y}(t)+5\ddot{y}(t)+9\dot{y}(t)+5y(t)=u(t),
com u(t)=6 e condições iniciais \,y(0)=1,\;\dot y(0)=-1,\;\ddot y(0)=1.
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes, que se resolve pelo método clássico: soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular, depois ajuste das constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Encontrar a solução da homogênea
y_h'''+5y_h''+9y_h'+5y_h=0
montando a equação característica
r^3+5r^2+9r+5=0.
Testando r=-1 vê-se que é raiz, então fatoramos
r^3+5r^2+9r+5=(r+1)(r^2+4r+5),
e r^2+4r+5=0 r=-2\pm i. Logo
y_h(t)=C_1e^{-t}+e^{-2t}\bigl(C_2\cos t+C_3\sin t\bigr).

Passo 3

Como o forçamento u(t)=6 é constante, tentamos solução particular constante y_p=A. Substituindo em
\dddot y_p=0,\quad\ddot y_p=0,\quad\dot y_p=0,\quad\text{e}\quad5y_p=6,
obtém-se
A=\frac{6}{5}.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C_1e^{-t}+e^{-2t}\bigl(C_2\cos t+C_3\sin t\bigr)+\frac{6}{5}.
Precisamos de y(0),\,y'(0),\,y''(0). Calcula-se
y'(t)=-C_1e^{-t}+e^{-2t}\bigl((-2C_2+C_3)\cos t+(-2C_3-C_2)\sin t\bigr),
y''(t)=C_1e^{-t}+e^{-2t}\bigl((3C_2-4C_3)\cos t+\cdots\sin t\bigr).
Em t=0 isso vira o sistema para C_1,C_2,C_3:
y(0)=1\;\Longrightarrow\;C_1+C_2+\frac{6}{5}=1\;\Longrightarrow\;C_1+C_2=-\frac{1}{5},
y'(0)=-1\;\Longrightarrow\;-C_1-2C_2+C_3=-1,
y''(0)=1\;\Longrightarrow\;C_1+3C_2-4C_3=1.

Passo 5

Resolvendo
\begin{cases} C_1 + C_2 = -\tfrac{1}{5},\\\\ -\,C_1 -2C_2 +C_3 = -1,\\\ C_1 +3C_2 -4C_3 = 1, \end{cases}
obtemos
C_1=-2,\quad C_2=\frac{9}{5},\quad C_3=\frac{3}{5}.

Resposta

A solução da EDO é
\boxed{% y(t)=-2e^{-t}+e^{-2t}\Bigl(\tfrac{9}{5}\cos t+\tfrac{3}{5}\sin t\Bigr)+\frac{6}{5}. }

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