A resposta impulsiva de um circuito é dada por: h(t)=5 e^-2 t sen(4 t) H(t). Determine:
A função de rede do circuito

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um circuito LTI cuja resposta ao impulso é
\displaystyle h(t)=5,e^{-2t},\sen(4t),H(t)
O que a questão pede é a função de rede (ou função de transferência) desse circuito, que a gente chama de H(s). Isso envolve usar transformada de Laplace. Então, para resolver, vamos precisar:
  • Saber o que é função de transferência: H(s)=\mathcal{L}{h(t)}.
  • Conhecer a transformada de Laplace da função e^{-at}\sin(\omega t).

Passo 2

Primeiro, a definição:
A função de transferência H(s) de um sistema LTI é a transformada de Laplace da sua resposta ao impulso h(t), ou seja
\displaystyle H(s);=;\mathcal{L}{,h(t)};=;\int_{0}{\infty}h(t),e{-s t},dt.
No nosso caso, h(t)=5,e^{-2t}\sin(4t),u(t), então basta aplicar essa definição ou usar uma tabela de Laplace.

Passo 3

Na tabela básica de Laplace, temos o resultado (válido para \Re(s)>-a):
\displaystyle \mathcal{L}{e^{-a t}\sin(\omega t)}=\frac{\omega}{(s+a)2+\omega2}.
Aqui, a=2 e \omega=4. Então:
\displaystyle \mathcal{L}{e{-2t}\sin(4t)}=\frac{4}{(s+2)2+42}=\frac{4}{(s+2)2+16}.

Passo 4

Como h(t) tem um fator 5 multiplicando, a transformada fica escalada por 5:
\displaystyle H(s)=5;\times;\frac{4}{(s+2)2+16}=\frac{20}{(s+2)2+16}.

Resposta

\displaystyle H(s)=\frac{20}{(s+2)^2+16}

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