R: (a) sem resposta; (b) 5,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (c) 7,5 \mathrm{kgf}.
5- No teste de um modelo num tanque de provas, verificou-se que as grandezas que intervêm são: \mathrm{v}, \mathrm{g}, L e v. O protótipo vai trabalhar em água a 20^{\circ} \mathrm{C}, cuja viscosidade cinemática é 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Sabendo que a escala é de 1:2, pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o teste, e (b) selecionar entre os fluidos da tabela abaixo aquele que deve ser feito o teste com o modelo para obter semelhança completa.
Fluido v\left(\mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right)
Água a 20^{\circ} \mathrm{C} 10^{-6}
Água a 50^{\circ} \mathrm{C} 7.10^{-7}
Água a 90^{\circ} \mathrm{C} 3,54.10^{-7}
Mercúrio 1,25.10^{-7}
Gasolina 5,12.10^{-7}
Querosene 3,1.10^{-6}
R: (a) sem resposta, (b) Água a 90^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) justificar quais são os números adimensionais apropriados para o ensaio em modelo e protótipo;
  • (b) escolher, entre os fluidos da tabela fornecida, aquele em que o ensaio no modelo deve ser feito para obter semelhança completa.
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da tabela):
  • Escala linear entre modelo e protótipo: L_m/L_p = 1:2. Ou seja, \lambda \equiv \dfrac{L_m}{L_p} = \dfrac{1}{2} = 0,5.
  • Grandezas que intervêm: velocidade característica do escoamento (vou usar V para distinguir de \nu), gravidade g, comprimento característico L e viscosidade cinemática \nu.
  • Viscosidade cinemática do protótipo (água a 20^\circ\mathrm{C}) retirada da tabela: \nu_p = 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Tabela de viscosidades cinemáticas (peguei da tabela):
    • Água a 20^\circ\mathrm{C}: \nu=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Água a 50^\circ\mathrm{C}: \nu=7\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Água a 90^\circ\mathrm{C}: \nu=3,54\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Mercúrio: \nu=1,25\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Gasolina: \nu=5,12\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Querosene: \nu=3,1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 2

Determinar os números adimensionais possíveis por análise dimensional (Buckingham Pi), sem assumir nomenclaturas antecipadamente.
Variáveis relevantes e suas dimensões:
  • V: velocidade característica, dimensões [V]=L\,T^{-1}.
  • g: aceleração da gravidade, dimensões [g]=L\,T^{-2}.
  • L: comprimento característico, dimensões [L]=L.
  • \nu: viscosidade cinemática, dimensões [\nu]=L^2\,T^{-1}.
Há apenas duas dimensões independentes (comprimento e tempo), e quatro variáveis, logo pelo teorema de Buckingham teremos 4-2=2 números adimensionais independentes.
Escolho como variáveis repetidas V e L. Formo Pi usando g e \nu.
Construção do primeiro Pi com g:
Procuramos expoentes a,b tais que g\,L^{a}\,V^{b} seja adimensional. Dimensionalmente:
[g\,L^{a}\,V^{b}] = L^{1+a+b}\,T^{-2-b}.
Impondo expoentes nulos: 1+a+b=0 e -2-b=0. Da segunda segue b=-2. Então a=1. Portanto
\Pi_1 = g\,L\,V^{-2} = \frac{gL}{V^{2}}.
Esse é (o inverso do quadrado de) número de Froude; usualmente define-se
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}},\quad\text{de modo que}\quad \Pi_1=\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}.
Construção do segundo Pi com \nu:
Procuramos a,b tais que \nu\,L^{a}\,V^{b} seja adimensional. Dimensionalmente:
[\nu\,L^{a}\,V^{b}] = L^{2+a+b}\,T^{-1-b}.
Impondo nulidade: 2+a+b=0 e -1-b=0. Da segunda b=-1. Então a=-1. Logo
\Pi_2 = \nu\,L^{-1}\,V^{-1} = \frac{\nu}{V L}.
Esse é o inverso do número de Reynolds; definimos
\mathrm{Re}=\frac{V L}{\nu},\quad\text{com}\quad \Pi_2=\frac{1}{\mathrm{Re}}.
Conclusão (resumo didático): as duas grandezas adimensionais independentes que governam o problema são \mathrm{Fr} e \mathrm{Re}:
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}},\qquad \mathrm{Re}=\frac{V L}{\nu}.

Passo 3

Explicar fisicamente por que esses dois números são relevantes (por que precisamos deles para semelhança completa).
  • \mathrm{Fr} (Froude): compara forças inerciais com forças gravitacionais. Em escoamentos com superfície livre (ex.: navios, tanques de provas), a forma das ondas, a distribuição de pressão ligada à gravidade e o padrão de ondulação dependem de \mathrm{Fr}. Para reproduzir corretamente o efeito da gravidade entre modelo e protótipo é necessário \mathrm{Fr}_m=\mathrm{Fr}_p.
  • \mathrm{Re} (Reynolds): compara forças inerciais com forças viscosas. A camada limite, perda por atrito e efeitos viscosos dependem de \mathrm{Re}. Para reproduzir corretamente arrasto viscoso e perfis de velocidade próximos às paredes é necessário \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p.
Para obter semelhança dinâmica completa (tanto efeitos de gravidade quanto de viscosidade iguais) é preciso igualar simultaneamente \mathrm{Fr} e \mathrm{Re} entre modelo e protótipo.
Observação prática: \mathrm{Fr} e \mathrm{Re} não são independentes quando a velocidade do modelo é fixada pela condição de \mathrm{Fr}; então, para igualar também \mathrm{Re}, pode ser necessário mudar a viscosidade do fluido do modelo (escolher fluido diferente ou alterar temperatura).

Passo 4

Derivar as relações de escala que decorrem de impor \mathrm{Fr}_m=\mathrm{Fr}_p e \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p.
Igualando Froude:
\frac{V_m}{\sqrt{gL_m}}=\frac{V_p}{\sqrt{gL_p}} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_m}{V_p}=\sqrt{\frac{L_m}{L_p}}=\sqrt{\lambda}.
Igualando Reynolds:
\frac{V_m L_m}{\nu_m}=\frac{V_p L_p}{\nu_p}.
Substituindo V_m/V_p=\sqrt{\lambda} e L_m/L_p=\lambda:
\frac{\nu_m}{\nu_p}=\frac{V_m L_m}{V_p L_p}=(\sqrt{\lambda})(\lambda)=\lambda^{3/2}.
Portanto a viscosidade cinemática do fluido do modelo deve satisfazer
\nu_m = \nu_p\,\lambda^{3/2}.
Essa é a condição necessária para que, ao escolher V_m conforme a igualdade de \mathrm{Fr}, o \mathrm{Re} também fique igual ao do protótipo.

Passo 5

Aplicar numericamente à escala dada e ao protótipo em água a 20^\circ\mathrm{C}.
Dados:
\lambda=\frac{L_m}{L_p}=0,5,\qquad \nu_p=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Calcular \lambda^{3/2}:
\lambda^{3/2}=(0,5)^{3/2}=(0,5)^{1}\cdot(0,5)^{1/2}=0,5\cdot\sqrt{0,5}=0,5\cdot0,70710678\approx0,35355339.
Logo
\nu_m=\nu_p\,\lambda^{3/2}=(1\times10^{-6})\cdot0,35355339\approx3,5355\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 6

Comparar o valor requerido de \nu_m com os valores disponíveis na tabela (peguei os números da tabela listada no Passo 1):
Tabela (relembrando):
  • Água a 90^\circ\mathrm{C}: \nu=3,54\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Gasolina: \nu=5,12\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Mercúrio: \nu=1,25\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Água a 50^\circ\mathrm{C}: \nu=7\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Querosene: \nu=3,1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Valor requerido: \nu_m\approx3,5355\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Comparando com a tabela, o valor mais próximo é o da água a 90^\circ\mathrm{C}, que é \nu=3,54\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. A diferença relativa é muito pequena (aproximadamente 0{,}13\%), portanto a melhor escolha para alcançar semelhança completa é usar água aquecida a 90^\circ\mathrm{C} no modelo.

Passo 7

Comentário prático e resumo final (um empurrãozinho otimista):
  • Na prática esse resultado significa: ajustar a velocidade do modelo conforme a relação de Froude V_m=V_p\sqrt{\lambda} e usar água a 90^\circ\mathrm{C} (ou um fluido com \nu muito próximo do valor calculado) para que também se igualem os Reynolds. Assim obtém-se semelhança completa entre modelo e protótipo. Boa notícia: a tabela já traz exatamente o valor necessário (água a 90^\circ\mathrm{C}), então o ensaio fica simples de implementar.

Resposta

(a) Números adimensionais apropriados: \mathrm{Fr}=\dfrac{V}{\sqrt{gL}} e \mathrm{Re}=\dfrac{V L}{\nu}.
(b) Água a 90^\circ\mathrm{C} ( \nu=3,54\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} ).

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