R: (a) sem resposta; (b)
; (c)
.
5- No teste de um modelo num tanque de provas, verificou-se que as grandezas que intervêm são:
, L e
. O protótipo vai trabalhar em água a
, cuja viscosidade cinemática é
. Sabendo que a escala é de 1:2, pede-se: (a) justificar os adimensionais apropriados para o teste, e (b) selecionar entre os fluidos da tabela abaixo aquele que deve ser feito o teste com o modelo para obter semelhança completa.
Fluido
Água a
Água a
Água a
Mercúrio
Gasolina
Querosene
R: (a) sem resposta, (b) Água a
.
| Fluido |
|
| Água a
|
|
| Água a
|
|
| Água a
|
|
| Mercúrio |
|
| Gasolina |
|
| Querosene |
|
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) justificar quais são os números adimensionais apropriados para o ensaio em modelo e protótipo;
- (b) escolher, entre os fluidos da tabela fornecida, aquele em que o ensaio no modelo deve ser feito para obter semelhança completa.
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da tabela):
- Escala linear entre modelo e protótipo:
. Ou seja, - Grandezas que intervêm: velocidade característica do escoamento (vou usar
para distinguir de ), gravidade , comprimento característico e viscosidade cinemática . - Viscosidade cinemática do protótipo (água a
) retirada da tabela: - Tabela de viscosidades cinemáticas (peguei da tabela):
- Água a
: - Água a
: - Água a
: - Mercúrio:
- Gasolina:
- Querosene:
- Água a
Passo 2
Determinar os números adimensionais possíveis por análise dimensional (Buckingham Pi), sem assumir nomenclaturas antecipadamente.
Variáveis relevantes e suas dimensões:
-
: velocidade característica, dimensões . -
: aceleração da gravidade, dimensões . -
: comprimento característico, dimensões . -
: viscosidade cinemática, dimensões .
Há apenas duas dimensões independentes (comprimento e tempo), e quatro variáveis, logo pelo teorema de Buckingham teremos
números adimensionais independentes.
Escolho como variáveis repetidas
e
. Formo Pi usando
e
.
Construção do primeiro Pi com
:
Procuramos expoentes tais que
seja adimensional. Dimensionalmente:
Procuramos expoentes
Impondo expoentes nulos:
e
. Da segunda segue
. Então
. Portanto
Esse é (o inverso do quadrado de) número de Froude; usualmente define-se
Construção do segundo Pi com
:
Procuramos tais que
seja adimensional. Dimensionalmente:
Procuramos
Impondo nulidade:
e
. Da segunda
. Então
. Logo
Esse é o inverso do número de Reynolds; definimos
Conclusão (resumo didático): as duas grandezas adimensionais independentes que governam o problema são
e
:
Passo 3
Explicar fisicamente por que esses dois números são relevantes (por que precisamos deles para semelhança completa).
-
(Froude): compara forças inerciais com forças gravitacionais. Em escoamentos com superfície livre (ex.: navios, tanques de provas), a forma das ondas, a distribuição de pressão ligada à gravidade e o padrão de ondulação dependem de . Para reproduzir corretamente o efeito da gravidade entre modelo e protótipo é necessário . -
(Reynolds): compara forças inerciais com forças viscosas. A camada limite, perda por atrito e efeitos viscosos dependem de . Para reproduzir corretamente arrasto viscoso e perfis de velocidade próximos às paredes é necessário .
Para obter semelhança dinâmica completa (tanto efeitos de gravidade quanto de viscosidade iguais) é preciso igualar simultaneamente
e
entre modelo e protótipo.
Observação prática:
e
não são independentes quando a velocidade do modelo é fixada pela condição de
; então, para igualar também
, pode ser necessário mudar a viscosidade do fluido do modelo (escolher fluido diferente ou alterar temperatura).
Passo 4
Derivar as relações de escala que decorrem de impor
e
.
Igualando Froude:
Igualando Reynolds:
Substituindo
e
:
Portanto a viscosidade cinemática do fluido do modelo deve satisfazer
Essa é a condição necessária para que, ao escolher
conforme a igualdade de
, o
também fique igual ao do protótipo.
Passo 5
Aplicar numericamente à escala dada e ao protótipo em água a
.
Dados:
Calcular
:
Logo
Passo 6
Comparar o valor requerido de
com os valores disponíveis na tabela (peguei os números da tabela listada no Passo 1):
Tabela (relembrando):
- Água a
: - Gasolina:
- Mercúrio:
- Água a
: - Querosene:
Valor requerido:
Comparando com a tabela, o valor mais próximo é o da água a
, que é
. A diferença relativa é muito pequena (aproximadamente
), portanto a melhor escolha para alcançar semelhança completa é usar água aquecida a
no modelo.
Passo 7
Comentário prático e resumo final (um empurrãozinho otimista):
- Na prática esse resultado significa: ajustar a velocidade do modelo conforme a relação de Froude
e usar água a (ou um fluido com muito próximo do valor calculado) para que também se igualem os Reynolds. Assim obtém-se semelhança completa entre modelo e protótipo. Boa notícia: a tabela já traz exatamente o valor necessário (água a ), então o ensaio fica simples de implementar.
Resposta
(a) Números adimensionais apropriados:
e
.
(b) Água a (
).
(b) Água a