Um ressalto hidráulico ocorre em um canal retangular largo com declividade de 0,05 \mathrm{m} / \mathrm{m}. Sabendo-se que a profundidade de escoamento para uma vazão de 2,10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} . \mathrm{m} é de 0,40 \mathrm{~m}, pede-se definir a profundidade conjugada e o comprimento do ressalto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
Dados fornecidos:
  • declividade do canal: \,S_0=0{,}05\\ \mathrm{m/m},
  • vazão por metro de largura (vazão por unidade de largura): \,q=2{,}10\\ \mathrm{m}^3/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}) (ou seja, \,q=2{,}10\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} por unidade de largura),
  • profundidade antes do ressalto: \,y_1=0{,}40\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
  1. determinar a profundidade conjugada (profundidade após o ressalto) \,y_2;
  2. estimar o comprimento do ressalto \,L.
Observação: todos os dados relevantes estão acima. A declividade foi dada; usaremos as relações usuais de ressalto em canal retangular e, quando necessário, comentarei por que a inclinação não entra na fórmula direta da profundidade conjugada (isso vem adiante).

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos para obter \,y_2 (explicação passo a passo, sem pular etapas).
O ressalto hidráulico é tratado usando a conservação do momento linear (função de momento específico) entre as duas seções antes e depois do ressalto, assumindo que a perda por atrito no salto é concentrada e que a troca de quantidade de movimento com a parede/terreno é desprezível no pequeno trecho do salto. Para um canal retangular de largura unitária a função de momento específico S (também chamada força específica) é dada por:
S(y) = \frac{y^2}{2} + \frac{q^2}{g\,y},
onde:
  • \,y é a profundidade (m),
  • \,q é a vazão por unidade de largura (m^2/s),
  • \,g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
A condição de conjugação (momentos iguais antes e depois do salto) é:
S(y_1) = S(y_2),
ou seja
\frac{y_1^2}{2} + \frac{q^2}{g\,y_1} \;=\; \frac{y_2^2}{2} + \frac{q^2}{g\,y_2}.
Para facilitar a solução definimos a razão adimensional
r=\frac{y_2}{y_1}.
Também introduzimos o número de Froude na seção 1:
\mathrm{Fr}_1=\frac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}} \quad\text{com}\quad V_1=\frac{q}{y_1}.
Note que, por manipulação algébrica (vou mostrar), a equação de momento acima pode ser transformada numa equação quadrática para r. Procedimento (passo a passo):
  1. Substituindo y_2=r y_1 na equação de momento e dividindo ambos os lados por y_1^2 obtém-se
\frac{1}{2} + \frac{q^2}{g\,y_1^3} \;=\; \frac{r^2}{2} + \frac{q^2}{g\,y_1^3}\cdot\frac{1}{r}.
  1. Reconhecendo \mathrm{Fr}_1^2=\dfrac{q^2}{g\,y_1^3}, a equação vira
\frac{1}{2} + \mathrm{Fr}_1^2 \;=\; \frac{r^2}{2} + \frac{\mathrm{Fr}_1^2}{r}.
  1. Multiplicando por 2r e rearranjando obtemos, para r\neq 1,
r^2 + r - 2\,\mathrm{Fr}_1^2 = 0.
  1. Esta é uma quadrática em r. Resolvendo-a (fórmula de Bhaskara) obtemos a expressão conhecida para a razão de profundidades:
r=\frac{y_2}{y_1}=\frac{-1+\sqrt{1+8\,\mathrm{Fr}_1^2}}{2}.
Essa fórmula é a forma padrão para profundidades conjugadas em canal retangular. Observação didática: a declividade S_0 não aparece nessa fórmula porque a conservação do momento num trecho pequeno do salto, dominada por pressões hidrostáticas e troca de quantidade de movimento, é usada; o efeito da inclinação é desprezado nesse balanço (válido quando o salto é curto e a perda de energia ocorre no próprio salto). Em canais muito inclinados o perfil de escoamento a montante pode mudar, mas a relação de conjugação ainda é a usada na maioria dos problemas práticos.

Passo 3

Cálculo dos valores intermediários numéricos (muito mastigado).
Dados numéricos: q=2{,}10\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, y_1=0{,}40\\ \mathrm{m}, g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  1. velocidade média antes do ressalto:
V_1=\frac{q}{y_1}=\frac{2{,}10}{0{,}40}=5{,}25\\ \mathrm{m/s}.
  1. número de Froude na seção 1:
\mathrm{Fr}_1=\frac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}}=\frac{5{,}25}{\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}40}}.
Calculemos o denominador: \sqrt{9{,}81\cdot 0{,}40}=\sqrt{3{,}924}=1{,}981 (aprox.). Logo
\mathrm{Fr}_1 \approx \frac{5{,}25}{1{,}981}\approx 2{,}65.
(Aproveito para incentivar: verifique estas contas com lápis e papel; é só dividir e extrair raiz quadrada — dá para fazer rápido na prova.)

Passo 4

Cálculo da profundidade conjugada \,y_2 usando a fórmula fechada.
Usando
r=\frac{y_2}{y_1}=\frac{-1+\sqrt{1+8\,\mathrm{Fr}_1^2}}{2},
substituímos \mathrm{Fr}_1^2\approx (2{,}65)^2=7{,}0225:
1+8\,\mathrm{Fr}_1^2 = 1 + 8\cdot 7{,}0225 = 1 + 56{,}18 = 57{,}18.
\sqrt{57{,}18}\approx 7{,}563.
r=\frac{-1 + 7{,}563}{2}=\frac{6{,}563}{2}=3{,}2815\\ (\text{aprox.}).
Portanto
y_2 = r\,y_1 \approx 3{,}2815 \times 0{,}40 = 1{,}3126\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sentido prático, \,y_2\approx 1{,}31\\ \mathrm{m}.
(Como checagem rápida: calcule a Froude na seção 2, \mathrm{Fr}_2, e verá que \mathrm{Fr}_2<1, mostrando que realmente temos escoamento subcrítico após o salto — isto confirma coerência física.)

Passo 5

Estimativa do comprimento do ressalto \,L (fórmula empírica e cálculo).
O comprimento do ressalto é uma quantidade empírica: o salto não tem uma fórmula única derivada puramente da teoria idealizada; a prática usa correlações experimentais. Uma correlação comum e amplamente adotada para ressalto em canal retangular é
L \approx 6\,(y_2 - y_1),
onde L e as profundidades estão em metros. Essa expressão é prática, simples e suficiente para a maioria dos problemas de projeto/avaliação — a constante 6 vem de observações experimentais (em outras referências você pode ver fatores entre 5 e 7; usar 6 é uma boa aproximação).
Calculemos:
y_2 - y_1 = 1{,}3126 - 0{,}40 = 0{,}9126\\ \mathrm{m}.
L \approx 6 \times 0{,}9126 = 5{,}4756\\ \mathrm{m}.
Arredondando, L\approx 5{,}48\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo final rápido e incentivo.
  • Encontramos \,y_2\approx 1{,}31\\ \mathrm{m}, o que faz sentido físico porque \mathrm{Fr}_1>1 e \mathrm{Fr}_2<1.
  • Usamos a correlação empírica L\approx 6(y_2-y_1) para estimar o comprimento do ressalto como cerca de 5{,}48\\ \mathrm{m}.
Você está indo bem — essas contas são repetitivas em prova: calcule V_1, \mathrm{Fr}_1, use a fórmula de conjugação e, se pedirem comprimento, aplique a regra prática. Respira, refaz uma vez à mão e pronto!

Resposta

y_2 \approx 1{,}31\\ \mathrm{m}
L \approx 5{,}48\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados