O resultado de uma análise de peneiramento de quartzo é mostrado na tabela a seguir:
Peneira Massa (\mathrm{g})
-10+14 2.0
-14+20 5.0
-20+28 10.0
-28+35 18.0
-35+48 25.0
-48+65 25.0
-65 15.0
a) Construa a curva de Fração mássica \times \mathrm{Di}.
b) Construa a curva de Fração cumulativa \times \mathrm{Di}.
c) Calcular o diâmetro médio de Sauter.

Passo 1

O enunciado fornece os dados de uma análise de peneiramento de quartzo em que cada faixa de malha (mesh) retém uma certa massa m_i. Precisamos de
  1. construir a curva de fração mássica w_i em função do diâmetro médio da faixa D_i,
  2. construir a curva de fração cumulativa de passagem em função de D_i, e
  3. calcular o diâmetro médio de Sauter \overline{D}_{32}.
    O conteúdo é granulometria básica: usa-se a abertura de cada peneira (em milímetros) e a média geométrica dos limites da faixa para obter D_i, depois calcula-se fração mássica w_i e fração cumulativa; por fim aplica-se a fórmula do diâmetro médio de Sauter para distribuição por massa.

Passo 2

Determinar as aberturas das peneiras (valores padrões em mm) e calcular o diâmetro médio geométrico D_i de cada faixa.
As aberturas de malha usadas são:
D_{10}=2{,}00\text{ mm},\; D_{14}=1{,}40\text{ mm},\; D_{20}=0{,}85\text{ mm},\; D_{28}=0{,}60\text{ mm},\; D_{35}=0{,}50\text{ mm},\; D_{48}=0{,}355\text{ mm},\; D_{65}=0{,}250\text{ mm}.
Para cada faixa “ -a+b” calcula-se
D_i = \sqrt{D_{a}\,\times D_{b}}.
No caso da faixa fina “ -65” assumimos D_i = D_{65}=0{,}250 mm.
Fica então:
\begin{array}{c|c|c} \text{Faixa} & m_i\;(\mathrm{g}) & D_i\;(\mathrm{mm}) \\\ \hline -10+14 & 2,0 & \sqrt{2{,}00\cdot1{,}40}=1{,}673\\\\ -14+20 & 5,0 & \sqrt{1{,}40\cdot0{,}85}=1{,}091\\\\ -20+28 & 10,0 & \sqrt{0{,}85\cdot0{,}60}=0{,}714\\\\ -28+35 & 18,0 & \sqrt{0{,}60\cdot0{,}50}=0{,}548\\\\ -35+48 & 25,0 & \sqrt{0{,}50\cdot0{,}355}=0{,}421\\\\ -48+65 & 25,0 & \sqrt{0{,}355\cdot0{,}250}=0{,}298\\\\ -65 & 15,0 & 0{,}250 \end{array}

Passo 3

Calcular a fração mássica de cada faixa:
w_i = \frac{m_i}{\sum m_i} = \frac{m_i}{100{,}0\;\mathrm g}.
Isso dá
w_i = \{0{,}02;\;0{,}05;\;0{,}10;\;0{,}18;\;0{,}25;\;0{,}25;\;0{,}15\}.

Passo 4

a) A curva de fração mássica w_i vs.\ D_i inclui os pontos (D_i,w_i) do passo anterior.
b) A fração cumulativa de passagem (isto é, fração de massa com diâmetro \le D_i) obtém-se somando, em ordem crescente de D_i:
\begin{array}{c|c} D_i\;(\mathrm{mm}) & \text{cumul.\\ de passagem}\\hline 0{,}250 & 0{,}15\\\\ 0{,}298 & 0{,}15+0{,}25=0{,}40\\\\ 0{,}421 & 0{,}40+0{,}25=0{,}65\\\\ 0{,}548 & 0{,}65+0{,}18=0{,}83\\\\ 0{,}714 & 0{,}83+0{,}10=0{,}93\\\\ 1{,}091 & 0{,}93+0{,}05=0{,}98\\\\ 1{,}673 & 0{,}98+0{,}02=1{,}00 \end{array}
Esses pares (D_i,\text{cumul}) formam a curva cumulativa.

Passo 5

Para o diâmetro médio de Sauter usa-se a fórmula
\overline{D}_{32} =\frac{\sum_i w_i}{\sum_i (w_i/D_i)} =\frac{1}{\sum_i \dfrac{w_i}{D_i}} \quad\text{(densidade constante).}
Calculando
\sum_i \frac{w_i}{D_i} = \frac{0{,}02}{1{,}673} +\frac{0{,}05}{1{,}091} +\frac{0{,}10}{0{,}714} +\frac{0{,}18}{0{,}548} +\frac{0{,}25}{0{,}421} +\frac{0{,}25}{0{,}298} +\frac{0{,}15}{0{,}250} \approx 2{,}559\;\mathrm{mm}^{-1}
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\overline{D}_{32} =\frac{1}{2{,}559} \approx0{,}39\;\mathrm{mm}.

Resposta

O diâmetro médio de Sauter para esta distribuição é aproximadamente
\overline{D}_{32}\approx0{,}39\;\text{mm}.

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