A reta tangente ao gráfico da função,
. também passa em quais pontos?
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
que pertence ao gráfico. A pergunta é: a reta tangente ao gráfico nesse ponto
também passa em quais pontos do gráfico?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é dada por
. - O ponto de tangência é
. - Procurar os pontos do gráfico (ou seja, valores de
com suas respectivas ordenadas) que pertencem simultaneamente ao gráfico da função e à reta tangente em .
Passo 2
Verificar que
realmente está no gráfico: calcular
onde
.
portanto
está no gráfico. Boa — podemos continuar.
Passo 3
Encontrar a inclinação da reta tangente em
. Para facilitar a diferenciação, faço uma divisão algébrica:
porque
. Assim podemos escrever
Agora derivamos termo a termo. Lembrete rápido: a derivada de
é
, a derivada de constante é
, e a derivada de
é
. Logo:
Avaliaremos em
:
Explicação intuitiva:
é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
.
Passo 4
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação
com
e
:
Isolando
:
Observação: essa é a reta que toca o gráfico em
.
Passo 5
Determinar os pontos de interseção entre a reta e o gráfico resolvendo a equação
Repare que o lado direito é
, então multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que
porque a função não está definida ali) obtemos:
Expandindo e simplificando:
Portanto a única solução é
, com multiplicidade dupla. Como
corresponde a
, a reta encontra o gráfico apenas em
. A multiplicidade
mostra algebraicamente que a reta não corta o gráfico em outro ponto: ela “toca” o gráfico em
(tangência), sem interseção adicional.
Resposta
A reta tangente passa apenas em
.