A reta tangente ao gráfico da função, y=\frac{x^{2}+1}{x+1}, \mathrm{P}=(1,1). também passa em quais pontos?

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{x+1} e o ponto P=(1,1) que pertence ao gráfico. A pergunta é: a reta tangente ao gráfico nesse ponto P também passa em quais pontos do gráfico?
Informações relevantes:
  • A função é dada por \displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{x+1}.
  • O ponto de tangência é P=(1,1).
  • Procurar os pontos do gráfico (ou seja, valores de x com suas respectivas ordenadas) que pertencem simultaneamente ao gráfico da função e à reta tangente em P.

Passo 2

Verificar que P realmente está no gráfico: calcular \displaystyle f(1) onde f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}.
f(1)=\frac{1^{2}+1}{1+1}=\frac{2}{2}=1,
portanto P=(1,1) está no gráfico. Boa — podemos continuar.

Passo 3

Encontrar a inclinação da reta tangente em x=1. Para facilitar a diferenciação, faço uma divisão algébrica:
\frac{x^{2}+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1},
porque x^{2}+1=(x+1)(x-1)+2. Assim podemos escrever
f(x)=x-1+\frac{2}{x+1}.
Agora derivamos termo a termo. Lembrete rápido: a derivada de x é 1, a derivada de constante é 0, e a derivada de \dfrac{2}{x+1}=2(x+1)^{-1} é -2(x+1)^{-2}. Logo:
f'(x)=1-\frac{2}{(x+1)^{2}}.
Avaliaremos em x=1:
f'(1)=1-\frac{2}{(1+1)^{2}}=1-\frac{2}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Explicação intuitiva: f'(1)=\dfrac{1}{2} é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em P.

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}) com (x_{0},y_{0})=(1,1) e m=\dfrac{1}{2}:
y-1=\frac{1}{2}(x-1).
Isolando y:
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.
Observação: essa é a reta que toca o gráfico em P.

Passo 5

Determinar os pontos de interseção entre a reta e o gráfico resolvendo a equação
\frac{x^{2}+1}{x+1}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.
Repare que o lado direito é \dfrac{x+1}{2}, então multiplicando ambos os lados por 2(x+1) (e lembrando que x\neq -1 porque a função não está definida ali) obtemos:
2(x^{2}+1)=(x+1)^{2}.
Expandindo e simplificando:
2x^{2}+2=x^{2}+2x+1
2x^{2}+2-x^{2}-2x-1=0
x^{2}-2x+1=0
(x-1)^{2}=0.
Portanto a única solução é x=1, com multiplicidade dupla. Como x=1 corresponde a y=1, a reta encontra o gráfico apenas em P=(1,1). A multiplicidade 2 mostra algebraicamente que a reta não corta o gráfico em outro ponto: ela “toca” o gráfico em P (tangência), sem interseção adicional.

Resposta

A reta tangente passa apenas em (1,1).

Exercícios relacionados